Inégalité & Continuité

[Ariellix]

Bonsoir,

a)
Je dois montrer que:


b) f, une application de ]-1,1[ da,s |R tel que f(0) >0
1) demontrer que si f est continue au point 0 alors il existe c dans ]0,1[ tel que quel que soit x dans ]-c,c[, f(x) >0.
2)si f est dérivable en 0 alors:




a) d'un coté, on a le DL en 0 de la fonction
d'ou
et
par contre, l'autre inégalité, je trouve pas.

b) 1) si f est continue en 0 alors sa limite en 0 vaut f(0) > 0. Je vois pas comment continuer pour aboutir à f(x) >0.

2) si f est derivable en 0 alors
car la limite de f(h) en 0 est f(0) puisque f est continue en 0.

Merci d'avance.

[pascal16]

pour la première inégalité, un DL en 0 ne dit que "proche de 0"... et pas sur ]0;1[ tout entier.

pour la seconde inégalité.
version basique : je dérive ma fonction, je l'arrange un peu, et je trouve 0.5(-sqrt(1+x)-1/sqrt(1+x) +1)/x² qui est négatif sur ]0;1].
Avec ton DL, je sais que je peut prolonger par continuité ma fonction sur [0;oo[ avec 1/2 comme valeur en 0.
La fonction est donc strictement décroissante, majorée par sa valeur en 0, soit 1/2.

l'inégalité au sens strict est vraie sur ]0;+oo[

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonsoir,

a)
Je dois montrer que:

Pour quelles valeurs de ?

[pascal16]

pour la première inégalité, je ne vois pas d'encadrement facile.*
version algébrique
- on écrit la différence
- on met tout sous même dénominateur ( 2xsqrt(1+x)) qui est positif sur ]0;+oo[
- on dérive le numérateur pour étudier son signe....

[Ariellix]

Ah désolé,
c'est pour tout x >0 et le titre de l'exercice est "le théorème de la valeur moyenne." Je vois pas comment on peux l'appliquer ici.

[pascal16]

b1) 'on coupe les epsilon en 2".

f(0)>0, posons f(0)=a
soit epsilon = a/2, f continue en 0, donc il existe un boule ouverte de rayon c telle que dans cette boule on a :
valeur absolue de (f(0)-f) < epsilon, soit
dans cette boule : a-a/2<f<a+a/2
or a-a/2 = a/2 > 0
donc f >0

Pour la b2, le calcul demandé est la limite de la valeur moyenne de f proche de 0, je vois pas à quoi ça sert non plus

[chan79]

Je dois montrer que:

salut
Puisque x>0, l'inégalité de droite s'écrit

on élève au carré
même genre pour l'autre inégalité

[Ariellix]

Merci pour votre aide, bonne soirée.

[zygomatique]

salut

avec la quantité conjuguée ...

c'est donc trivialement majorée par 1/2 ...

pour l'autre inégalité :






(c'est donc de niveau collège ... enfin quand j'y étais )