Inégalité de Cauchy

[legeniedesalpages]

Bonjour, je n'arrive pas à montrer cette inégalité:



pour tous les n-uplets , de nombres complexes.

J'ai commencé par récurrence, pour l'initialisation c'est ok, mais pour l'hérédité je coince.

Merci pour vos indications.

[fahr451]

bonjour

A= (a1,...,bn) ; B = (b1,...,bn)


A.B = sigma ai (bibarre) linéaire /A antilinéaire /B
B.A = (A.B) barre
A.A = ||A||^2

on pose A.B = r exp (i c) r>=0 , c réel

puis A ' = A exp(-ic) alors

A'.B = r = |A.Bl réel

pour t réel , B non nul

|| A'+tB ||^2 = ||A'||^2 + t (A'.B +B'.A) + t^2 ||B||^2 =
||A'||^2 +2 t A'.B + t^2 ||B||^2

est un trinôme tjrs positif donc son delta est négatif

soit :

(A' B )^2 =< (||A'|| ||B||)^2 et le résultat

[Joker62]

Là tu fais la preuve pour un espace préhilbertien complexe aussi, c'est pas du jeu :D
Il voulait juste la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur R.

Même si bien évidemment, le cas général est beaucoup plus joli :)

[fahr451]

Là tu fais la preuve pour un espace préhilbertien complexe aussi, c'est pas du jeu
Il voulait juste la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur R.

Même si bien évidemment, le cas général est beaucoup plus joli

tu as raison en utilisant l'inégalité triangulaire on peut se contenter de regarder pour les ai' = |ai| et b'i= |bi| tous réels donc inutile d'utiliser exp(ic) car

A.B = B.A dans R^n

[legeniedesalpages]

ok, j'ai compris.

Merci Fahr et Joker pour votre aide. :)