Inégalité Cauchy Schwarz

[daymon]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice sur l'inégalité Cauchy Schwarz.

On cherche à démontrer l'inégalité" suivante:
(les i en indice biensûr)

On me demande de le montrer pour i allant de 1 à 2 (simple jeu de développement/simplification/factorisation)
Ça se corse lorsqu'on veut généraliser.

On me demande d'expliquer pourquoi c'est vrai lorsque X= = 0 ou Y = = 0 (avec x et y des entiers naturels non nuls)
J'ai dit que nécessairement tous les termes xi ou yi sont nuls si la somme de leurs carrés est nulle.

Je dois ensuite généraliser pour les cas ou ces sommes X et Y sont toutes les deux non-nulles.

On me donne l'indication et mais je ne vois pas comment l’utiliser...

Quelqu'un a une idée?
Merci

[GaBuZoMeu]

Utilise l'underscore pour mettre les indices en indice, c'est tout de même plus joli :


Sinon, pour la fin l'indication t'a complètement mâché le travail : développe les expressions données, regroupe ce qui doit être regroupé et voit ce qui sort.

[daymon]

J’ai essayé mais je ne tombe sur rien d’intéressant... Peut-être une règle de calcul que je maitrise mal,
X (dans ce cas 1/X) est à priori un facteur constant qui peut être sorti de la somme ou je me trompe? Certains termes s’annuleraient pour donner 1

[GaBuZoMeu]

Que trouves tu quand tu développes ? Quand tu fais la somme sur de tous ces développements ?

[daymon]

Je trouve 1 + 2 + 1

(J’ai pourtant essayé l’underscore )

[GaBuZoMeu]

J’ai pourtant essayé l’underscore

Ben non, dans ton code :
\sum_{i=i}^{n}{\frac{xiyi}{\sqrt{XY}}}
il n'y a aucun underscore pour les indices ! Le code
1+2\sum_{i=i}^{n}{\dfrac{x_iy_i}{\sqrt{XY}}}+1
donne

(Tu peux noter le \dfrac pour avoir une fraction écrite plus gros, et le fait que c'est toute la formule qui doit être entre balises TeX.)

Sinon, une fois que tu es arrivé à ça, que peux tu en déduire ? (Ne pas oublier le de l'indication !)

[daymon]

(Merci pour l’indication sur l’underscore )

En utilisant les 2 indications j’obtiens donc l’encadrement


... et j’ai compris!

Merci beaucoup!

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.