Inégalité de Bessel

par **yggdrasiil** » 14 Jan 2007, 22:36

Soit E un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Si {

} sont des vecteurs orthogonaux non nuls dans E, montrer l'inégalité de Bessel :

Je n'avais jamais vu l'inégalité de Bessel, en tout cas pas sous cette forme.
Comment commencer ?

par **jose_latino** » 14 Jan 2007, 23:09

C'est vraiment

par **jose_latino** » 14 Jan 2007, 23:18

Tu peux utiliser un fait intéressant: La projection orthogonale

de

sur le sous espace

engrendré par

accomplit que

(*). Justement, le carré de la norme de

est le coté gauche de l'inégalité de Bessel. La formule de la projection tu peux l'obtenir en utilisant que

est orthogonal à

et

, en conséquence

est orthogonal à tous les éléments de

et je peux exprimer à

comme combinason linéaire de

. Pour obtenir (*), utilise le théorème de Pythagoras pour

et

par **fahr451** » 14 Jan 2007, 23:37

en effet en supposant les ai de norme 1 (ce qui allège l 'écriture)

(a1,...,an) est une base orthonormée de F = vect (a1,...,an)

la projection orthogonale de x sur f est y définie par

y = sigma (xlai)ai sa norme au carré est sigma (xlai)^2

et x = x-y +y or x-y et y sont orthogonaux donc pythagore permet de conclure

REM il manque un carré dans ton inégalité

par **yggdrasiil** » 15 Jan 2007, 00:00

Merci de vos réponses, je vais essayer de me débrouiller avec ça.

fahr451 a écrit:REM il manque un carré dans ton inégalité

Hum ? Elle manque donc aussi sur la feuille de données des exercices. J'ai voué une confiance aveugle à mon prof ma foi...

par **yggdrasiil** » 15 Jan 2007, 00:57

Pourquoi a-t-on :

fahr451 a écrit:y = sigma (xlai)ai sa norme au carré est sigma (xlai)^2
et x = x-y +y or x-y et y sont orthogonaux

?

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