Inégalité avec la partie entière

[alloirat]

S'il vous plaît j'ai besoin d'aide pour cette question, comment commancer. Merci d'avance

[Sa Majesté]

En voyant , que peux-tu dire sur n ?

[lyceen95]

Fausse route , SaMajesté ...
A priori, les sont des réels , et pas forcément des entiers. Et si on impose aux d'être des entiers, ils peuvent prendre les valeurs {-1,0,1}.
Ceci dit, on peut ramener le problème à un autre problème, où les seules valeurs admises seraient ces 3 entiers.

Et la bonne piste, c'est de dissocier les cas n pair et n impair.

[Sa Majesté]

Fausse route , SaMajesté ...

Bien vu, j'ai lu trop vite

[alloirat]

Fausse route , SaMajesté ...
A priori, les sont des réels , et pas forcément des entiers. Et si on impose aux d'être des entiers, ils peuvent prendre les valeurs {-1,0,1}.
Ceci dit, on peut ramener le problème à un autre problème, où les seules valeurs admises seraient ces 3 entiers.

Et la bonne piste, c'est de dissocier les cas n pair et n impair.

Comment ?

[catamat]

Bonjour

Je traite un exemple, n=3

Soit S =
On sait que

S=S-2s (car s est nul)
S=
et |S|

donc |S|
or n²/4 = 2.25 on a bien |S|

[lyceen95]

Si n est pair, le cas le pire, c'est quand les n/2 premiers termes valent -1, et les n/2 derniers termes valent 1.
Et si n est impair, le cas le pire, c'est quand les (n-1)/2 premiers termes valent -1, le terme du milieu vaut 0, et les (n-1)/2 derniers valent 1.
Quand je dis que c'est le cas le pire, c'est le cas qui donne la somme maximale.

[alloirat]

Merci a vous

[alloirat]

Si n est pair, le cas le pire, c'est quand les n/2 premiers termes valent -1, et les n/2 derniers termes valent 1.
Et si n est impair, le cas le pire, c'est quand les (n-1)/2 premiers termes valent -1, le terme du milieu vaut 0, et les (n-1)/2 derniers valent 1.
Quand je dis que c'est le cas le pire, c'est le cas qui donne la somme maximale.

j'ai essayé de maximiser la somme mais je n'arrive pas a montrer ça, qui ressemble totalement vrai intuitivement .

[lyceen95]

La démonstration n'est pas simple. Les choses les plus évidentes sont souvent les plus difficiles à démontrer.
Mais tu peux déjà travailler sur la 2ème partie : Si on a , montrer qu'on a bien l'inégalité demandée.

[Ben314]

Salut,

La démonstration n'est pas simple.

Certes, mais la, c'est quand même pas la mer à boire : si l'un des xi avec i>n/2 était <1 alors un des xi avec i <n/2 serait >-1 (car la somme de tous fait 0) et on pourrait augmenter la somme des ixi en augmentant le premier et en diminuant de la même valeur le second.

[alloirat]

merci

[catamat]

C'est pas que je tienne à la méthode que j'ai exposé mais elle est assez simple à rédiger.

Si n est pair, n=2p
On a S=
et s=
S=S-ps (car s est nul)
S=
Donc |S|
|S|
et finalement
|S|
qui permet de conclure.