Indice d'un point

[Joker62]

Bonjour tout le monde
J'étais en pleine révision de Variable Complexe quand mon coeur à fait tilt

Notre prof à admis un théorème concernant le calcul de l'indice d'un point par rapport à un lacet, que je vous cite de suite :

Soit un lacet.
Supposons alors qu'il existe tel que :

1 : continûment dérivable en
2 :
3 :

Alors :

Pour assez petit, on a :

Donc, le problème, c'est qu'une démonstration avec les notions de variables complexe me semble totalement impossible et j'ai autre chose à faire à vrai dire , mais, comme je suis aussi, un cours de Calcul Différentiel, dans lequel on s'intéresse de très près à l'étude des courbes planes avec repère de Fresnet et tout le baratin qui va avec, j'aimerais bien trouver le rapport de l'indice avec ces notions de courbes planes.

Y'a plein d'indice qui montre que c'est avec ces outils qu'on le démontre, mais bon, je ne vois pas trop comment lier les deux ( Bon j'ai pas encore bosser sur le calcul diff pour tout vous dire )

Donc si vous avez des élements de démonstration pour ce théorème, j'en prendrais note


En vous remerciant

[tize]

Bonjour Joker,
intéressant, c'est la première fois que je vois cela...
autant dans les cas triviaux, courbe simple (injective) cela parait évident, par exemple , avec , représente le vecteur tangent à la courbe en et le vecteur normal à la tangente en de et donc va traverser le lacet en même temps que change de signe ce qui explique bien la différence de 1 au niveau des indices....
Par contre (sauf erreur de ma part) cela m'a l'air faux dans les cas où le lacet n'est pas simple : où l'on a :
car est à l'intérieur du cercle et car est à l'extérieur du cercle...
OU alors j'ai dit une énorme bêtise quelque part...

[Joker62]

Hello José ;)
Donc déjà merci pour la réponse !

Donc je suis d'accord avec toi qu'instinctivement, on sent bien que c'est vrai ( Bon d'ailleurs c'est vrai :D ), et je suis encore d'accord avec toi quand tu parles de vecteur tangent et vecteur normal.

D'ailleurs j'ai un ptit dessin qui accompagne le théorème avec les notions que tu as décrites ci-dessus.

Pour le contre exemple, c'est en effet vrai, ta courbe tourne bien deux fois autour du point à l'intérieur du cercle et donc l'indice vaut 2.
Et je suppose donc que l'hypothèse 3) et là pour enlevé ce genre de problème, sauf que j'ai pris un voisinage de t_0 alors qu'il me semble bien que c'est pour tout t != t_0, gamma(t) != gamma(t_0) ce qui donnerait l'injectivité de la courbe.

J'ai posé la question à mon prof de Calcul diff qui lui ne voit pas du tout le rapport avec sa matière (bon mise à part les hypothèses), et qui prône plutôt la théorie de l'intégration ( Façon dont est introduite la notion d'indice )

Enfinnnnn bref, j'irais poser la question à Mr le Prof de Var Co :D

Merci encore ;)
Bonne journée

[ffpower]

Allez,je tente une ebauche de preuve(donc sans trop de details).Vaut mieux aussi faire un dessin(mais ca je sais pas faire^^)
Je pose et
Prenons assez petit pour que Le segment [a,b] ne coupe qu en

Maintenant,Soit petit. Soit , et
On decompose en 2:
-un grand morceau :On suit jusqu en P,on va de P jusqu en R en ligne droite,puis de R jusqu en Q,puis on finis de suivre
-un petit morceau n part de P,on suit jusqu en Q,on va de Q a R puis de R a P...

Bon pas le temps de finir la demo maintenant dsl,je poste la suite plus tard..

[ffpower]

Voila,je suis de retour pour la suite de ma demo.Donc je continue:

On a donc et

Or le segment [a,b] ne coupe qu en ,donc [a,b] ne coupe pas .
a et b etant dans la meme composante connexe de ,on a donc .
On veut donc montrer maintenant que
Mais si est petit est tres proche d un triangle.plus précisément,recoupons en 2 parties:
-Un triangle :on part de P,on va en ligne droite jusqu a Q,puis jusqu a R puis jusqu a P
-Un "reste" .On suit de P jusqu a Q,puis on revient de Q jusqu a P en ligne droite.

De la meme maniere on a
et

Et si on a pris assez petit,a et b seront tous les 2 dans la composante connexe non bornée de ,et donc .

Il reste donc juste a montrer que .Mais comme est un triangle les indices sont facilement calculables:deja,a est dans le triangle et b est a l exterieur donc les indices seront distincts de 1,reste a voir que "tourne dans le bon sens" pour obtenir finalement ,mais je pense que ca doit pas etre trop dur..Voila(ouf!),j espere que ca t aidera.si ya un passage flou,n hesite pas^^

[Joker62]

Salut !!!
D'abord merci pour l'intérêt que tu portes au problème
J'avais déjà lu la première partie et attendait l'autre avec impatience

Donc, en fait, j'ai un souci dès le début

[url="http://img170.imageshack.us/my.php?image=indiceeo9.jpg"][/url]

Voilà l'interprétation que je fais de tes notations.
Sur la gauche, la courbe gamma, sur la droite, la courbe gamma 0 et le triangle gamma 1 qu'on s'imagine sans problème.

Et donc le premier souci vient d'ici :

[ab] ne coupe pas gamma_0
Pour moi le point R est le translaté de Q par rapport au vecteur

Donc forcément après, ça colle plus.
J'fais fausse route dès le début alors ?

[ffpower]

et bien si je n ai pas fait d erreurs,a,b,R et sont normalent alignés ce qui n est pas le cas sur ton dessin.R est un translaté de A selon la direction (donc selon le vecteur normal a )

[Joker62]

En effet, j'ai zappé l'effet du i devant le gamma(t_0)
Je reprend la lecture désolé.