Indice permutation

[LauraLe]

Bonjour à tout le monde !

Avec ce confinement, j'essaye de prendre de l'avance dans le cours d'algèbre et de faire des exercices en plus. Sauf que voilà j'ai une question sur laquelle je doute.

Supposons n>=3 ; on considère le sous-groupe H =<(1 k) : 2<=k<=n-1> de Sn. Quel est l'indice de H dans Sn ? Donner un ensemble de représentants pour les classes à gauche de Sn modulo H.


Pour commencer (1 k) est une transposition et Sn est le groupe symétrique. Sachant que toute transposition (i j) peut s'écrire comme produit de transposition du type (1 k) avec k appartient {2..., n} car (i j) =(1 i)(1 j)(1 i)et donc par conséquent {(1 k) : 2<= k <= n} est une partie génératrice de Sn (car on sait qu'une transposition engendre Sn)

Par définition l'indice de H dans Sn est (Sn : H)= |Sn|/|H| (d'après le théorème de Lagrange)
or |Sn|= n!
Je sais de plus que |H| | |Sn| donc |H| | n!
Je prends plusieurs exemples :
Avec S3, H={(1 2)} donc n-2
On peut vérifier que |S3|=3!=6 et|H|= 1 et on a bien |H| | |Sn|
Avec S4, H={(1 2), (1 3)} aussi n-2
On vérifie de même que |S4|= 4!= 24 et |H|=2 et on a bien que |H| | |Sn|

Donc on peut supposer que |H|= n-2 (encore faut-il le montrer par une récurrence ?)

Donc (Sn : H) =n!/n-2

Par définition la classe à gauche modulo H est := {xy appartient G : y appartient H}
Donc dans mon cas G= Sn et H=<(1 k) : 2<=k<=n-1> (H sous-groupe de G)
Donc si je réécris la classe à gauche modulo H est := {xy appartient Sn : y appartient H}

Mais je ne comprends pas bien la définition. J'ai essayé quand même avec des exemples comme S3
x=(2 3) y=(1 2) xy=(2 3) (1 2)= (3 1 2) donc cela appartient bien à Sn et y= (1 2) appartient bien à H
Cependant je ne vois pas comment généraliser ceci ...


Je vous souhaite une bonne journée,

Cordialement

[tournesol]

H est le sg engendré par les transpositions du type (1,k) avec 1<k<n
Ta remarque pertinente sur la generation des transpositions montre que H est égal à
Cela devrait pouvoir t'aider .

[LauraLe]

Ah oui je crois comprendre ce que vous essayer de me dire.
Sachant que H =<(1 k) : 2<=k<=n-1> et qu'il y a une proposition qui dit que "Le groupe Sn est engendré par les n − 1 transpositions (1, k) où 2 ≤ k ≤ n " et que je l'ai démontrée ( soit (i,j) une transposition , (i j)=(1 i)(1 j)(1 i)^-1=(1 i)(1 j)(1 i)) alors H est égal à Sn-1.

Et du coup, je pense que vous voulez m'amener à l'ordre de H .
|H|= (n-1)!

Mais si je compare ce résultat avec ce que j'avais trouvé avec plusieurs exemples qui était n-2 et que je teste avec un exemple par exemple S3. Je trouve (3-1)!=2 et (3-1)=1 donc pas les mêmes résultats ...

[tournesol]

Tu as tout compris et tu as du te tromper dans le traitement de tes exemples .
Tu confonds H avec sa partie géneratrice .
Pour n = 4 , H n'est pas egal à {(1,2),(1,3)} mais àS3 qui est de cardinal 6 .
Autre sujet:
si A est une partie generatrice de B et si B est une partie génératrice de C , alors A est une partie génératice de C . Les transpositions (1,k) 0<=k<=n engendrent les transpositions (i,j) , 1<=i<j<=n
Ces transpositions engendrent Sn
Donc les transpositions (1,k) 0<=k<=n engendrent Sn .

[LauraLe]

D'accord , je vous remercie sincèrement

Autre sujet:
si A est une partie generatrice de B et si B est une partie génératrice de C , alors A est une partie génératice de C . Les transpositions (1,k) 0<=k<=n engendrent les transpositions (i,j) , 1<=i<j<=n
Ces transpositions engendrent Sn
Donc les transpositions (1,k) 0<=k<=n engendrent Sn .

Ah oui d'accord, cela revient à ce que j'avais dans la tête mais c'est beaucoup plus claire avec la façon dont vous le présentez !

Pour conclure quant à l'indice de H dans Sn j'en déduis donc que : (Sn : H)=|Sn|/|H| = n!/(n-1)! = n x (n-1)!/(n-1)! = n

Maintenant pour en revenir à donner un ensemble de représentants pour les classes à gauche de Sn modulo H :

Par définition la classe à gauche modulo H est := {xy appartient G : y appartient H}
Donc dans mon cas G= Sn et H=Sn-1
Donc si je réécris la classe à gauche modulo H est : xH= {xy appartient Sn : y appartient Sn-1}

Donc par exemple si je prends n=4 alors G=S4 et H=S3={id, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
donc y appartient {id, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} .
Maintenant, je veux tester "xy appartient Sn" mais x il appartient à G = Sn ?

[tournesol]

Ton indice est n . Tu as donc n classes . Il te faut n représentants .
H est facile à caracteriser dans : l'ensemble des permutations qui laissent n invariant .
Tu auras donc compris que les représentants des n-1 classes differentes de H doivent impérativement opérer sur n . Mais il te faudra démontrer qu'ils sont tous dans des classes differentes .
Dans ton cours tu dois avoir un critère d'égalité de classes facile à démontrer : xH= yH ssi H
Tout cela devrait pouvoir t'aider .

[LauraLe]

Effectivement dans mon cours j'ai la relation RH : x RH y si x^-1y appartient H est une relation d'équivalence sur G.

Or x et y sont des transpositions et je sais de plus que x^-1=x

En prenant une autre définition :
Les classes à gauche d'un groupe G=Sn suivant un sous-groupe H=Sn-1 sont les parties de G=Sn de la forme xH avec x élément de G, où xH désigne l'ensemble des éléments xy quand y parcourt H.

Si j'essaye avec un exemple : n=4 G=S4 ={ id, (1 2), (1 3), (2 3) .....} avec |G|=24 et H=S3={id, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

pour x =id
xH= {id x id, id x (1 2), id x (1 3) ...}= H

pour x= (1 2)
xH={ (1 2) id, (1 2) (1 2), (1 2) (1 3), (1 2) (2 3), (1 2) (123), (1 2) (132)}= { (1 2), (1 2), (123), (123), ( 2 3), (132)}

mais je n'arrive pas à "généraliser" malgré vos indications


Quand vous employez le terme "opère" je ne comprends pas trop. En effet, je n'ai pas encore commencé le chapitre sur les actions de groupe ...

[tournesol]

Tu dois choisir un élément dans chaque classe .
Pour représenter H le plus simple est de choisir l'identité . Tu as d'ailleurs pu le constater .
Tu n'as pas compris que si x appartient à H , alors xH=H
Quand tu choisis x=(1,2) , x appartient à H et donc ton deuxième xH est égal à H .
Les éléments de H sont exactement les éléments de Sn qui laissent n invariant .
Donc si tu choisis un élément qui n'opère pas sur n comme (1,2) ou (1,3,2) qui n'opèrent pas sur 4 , il est dans H et xH sera égal à H .
Tu dois donc choisir pour représenter les n-1 classes qui ne sont pas l'identité , n-1 permutations "simples" qui opèrent sur n .
Propose moi un ensemble de n-1 telles permutations . Tu peux m'en proposer 3 dans S4 si tu ne parviens pas à généraliser .

[LauraLe]

Ah oui effectivement je viens de comprendre votre remarque. En effet, je suis d'accord que si x appartient à H alors xH=H

Par conséquent dans S4 je peux prendre (1 2 3 4), (1 3 2 4) ou encore (1 4 2 3) mais je pense que je peux prendre aussi ( 1 2 4).
En fait il me semble qu'on peut prendre des cycles qui doivent contenir n .

[tournesol]

OK mais si tu choisis tes permutations au hasard , elles peuvent être dans la même classe .
Pour vérifier qu'elle ne le sont pas , il te faudra appliquer le critère x^(-1)y appartient à H .
Tes permutations doivent donc être simples .
Tu me propose (1,2,4) . Pourquoi pas (1,4) ?
Continues et généralise .

[LauraLe]

Oui d'accord.

Je pense qu'on peut aussi prendre (1 4).
En plus pour vérifier le critère x^(-1)y appartient à H avec un transposition c'est assez facile car (1 4)=(1 4)^-1

Donc pourquoi pas l'ensemble des permutations de la forme (k n) avec 1<=k<=n-1

[tournesol]

Oui et n'oublie pas de montrer qu'elles sont dans des classes différentes .

[LauraLe]

Je ne comprends pas pourquoi il faut montrer qu'elles sont dans des classes différentes.

J'ai la définition de classe d'équivalence : Cl(x)={ y appartient E | xRy} autrement dit la classe d'équivalence d'un élément x de E est l'ensemble des éléments de E qui sont en relation avec x.

Mais j'en ai une autre aussi avec
Rh : x Rh y si x^-1y est une relation d'équivalence sur G. La classe R (x) est égale à xH:= { xy appartient à G : y appartient à H }

[tournesol]

Je réponds d'abord à tes trois paragraphes:
Parce que la deuxième ligne de ton énoncé te le demande .
RAS
La relation c'est ; x Rh y ssi x^(-1)y appartient à H .

Avec n=4 , (1,4) et (2,4) ne sont pas dans H=S3 car 4 n'est pas invariant .
Mais pourquoi (1,4)S3 serait-il différent de (2,4)S3 ?
C'est parce que (1,4)^(-1)(2,4) n'appartient pas à S3
En effet (1,4)^(-1)(2,4)=(1,4)(2,4) transforme 4 en 2 .
Pour i et j dans {1,n-1} on a clairement (i,n)^(-1)(j,n) appartient à H ssi i=j .
Donc pour {(i,n) ;1<=i<=n-1} est un ensemble de représentant de toutes les classes à gauche modulo H , et différentes de H . Id représentera H .

[LauraLe]

Mais pourquoi (1,4)S3 serait-il différent de (2,4)S3 ?
C'est parce que (1,4)^(-1)(2,4) n'appartient pas à S3

Effectivement je n'avais pas fait le lien.

En effet (1,4)^(-1)(2,4)=(1,4)(2,4) transforme 4 en 2 .

Ici je comprends que (1,4)^(-1)(2,4)=(1,4)(2,4) mais pour moi =(4 1 3 2)
Je ne comprends pas "transforme 4 en 2", est-ce pour désigner la deuxième transposition : (2 4) ?

Pour i et j dans {1,n-1} on a clairement (i,n)^(-1)(j,n) appartient à H ssi i=j .

De même ici, si je prends n=4, et que suppose i=j par exemple i=1 alors (i,n)^(-1)(j,n)=(1 4)(1 4) =(1 4) mais ça n'appartient pas à H...

[tournesol]

Je ne comprends pas bien ta notation (4132) .
Designe t-elle les images respectives de 1,2,3,4 ou le cycle qui transforme 4 en1 , 1 en 3 , 3 en 2 et 2 en 4 ?
Pour une transposition , la notation est celle d'un cycle .
(1,4)(2,4) est la notation multiplicative de la composition (1,4)o(2,4)
(2,4) laisse 1 invariant puis (1,4) le transforme en 4 .
(2,4) transforme 2 en 4 puis (1,4) transforme 4 en 1 .
(2,4) et (1,4) n'opèrent pas sur 3 .
(2,4) transforme 4 en 2 , et (1,4) laisse 2 invariant . Est ce ce dernier point que tu ne comprends pas ?

(i,n) transforme n en i et i en n . Donc (i,n)o(i,n)= Id . C'est pour cela que (i,n)^(-1)=(i,n) .

[LauraLe]

Je ne comprends pas bien ta notation (4132) .

Oui pour moi ça désigne les images respectives de 1,2,3,4

Pour faire ceci (1,4)(2,4) donne de façon détaillée:

1234
1432 ici j'ai appliqué (2 4)
4132 j'ai appliqué (1 4)

donc je trouve (1,4)(2,4)=(4312)

Mais pourquoi (1,4)S3 serait-il différent de (2,4)S3 ?
C'est parce que (1,4)^(-1)(2,4) n'appartient pas à S3
En effet (1,4)^(-1)(2,4)=(1,4)(2,4) transforme 4 en 2 .

J'ai compris avec vos explications, c'est juste que pour moi (1,4)(2,4) transforme 4 en 2 et transforme 4 en 1 et pas seulement 1,4)(2,4) transforme 4 en 2

Cependant, (1,4)^(-1)(2,4) n'appartient pas à S3 parce que (1,4)^(-1)(2,4)=(1 4)(2 4) n'appartient pas à S3 parce que dans S3 "il n 'y a pas de 4" ?

Donc (i,n)o(i,n)= Id

Oui ! Effectivement, grosse erreur de ma part !

Pour i et j dans {1,n-1} on a clairement (i,n)^(-1)(j,n) appartient à H ssi i=j .

Par conséquent, je suis complètement d'accord avec vous car (i,n)^(-1)(j,n)=(i,n)(j,n) et si i=j alors (i,n)(i,n)=id
or id appartient à H !

Mais du coup je ne vois pas très bien à quoi cela sert et qu'est ce qu'on en conclue même si je sais que le critère x^(-1)y appartient à H permet de savoir que les permutations ne sont pas dans la même classe.

En "résumé" pour donner un ensemble de représentants pour les classes à gauche de Sn modulo H.
1) Il faut trouver un ensemble de permutations qui ne peut pas être contenues dans H
2) Montrer que ces permutations sont dans des classes différentes

Mais pourquoi dans 1) on prend une transposition ? et pourquoi il faut montrer le 2), cela fait partie de la méthode ?

[tournesol]

Dans S3 , il n'y a pas de 4 . C'est trop vague .
(1,4)o(1,4) est dans S3
(3,4)o(2,3)o(2,4) est encore dans S3 .

Pourquoi doit on faire cela ? est ce que ca fait partie de la méthode ?
Les classes d'equivalence , c'est comme quand on a des objets dans plusieurs tiroirs , disons n tiroirs .
Si je te demande de me rapporter un objet de chaque tiroir , tu dois me rapporter n objets .
Mais si je ne te fais pas confiance , je dois en compter n puis m'assurer que tu les a bien pris dans des tiroirs différents . C'est tout .

[LauraLe]

Ah oui je comprends beaucoup mieux avec vos explications ! Et je comprends pourquoi on doit vérifier que c'est dans des classes différentes

J'ai juste quelques dernières questions.
Dans un autre exercice que j'ai fait pour calculer G/H (ensemble des représentant des classes à gauche modulo n) avec G= (Z/6Z, +) et H={0,2,4} avec 0,2,4 des barres au-dessus

G/H = {gH | g appartient à G}

G/H = x~y <=> y^-1 x appartient à H<=> x-y appartient à H car y^-1 = -y

Et là notre prof nous a dit qu'il fallait pour tout g appartenant à G faire g+H (car loi +) et qu'on a obtenu tous les éléments de G la réunion de tous les g+H on s'arrête et c'est G/H. Je m'explique :

G=(Z/6Z)=[0,1,2,3,4,5}
0+H= {0+0, 0+2,0+4} ={0, 2,4} (=H)

Donc là il faut que je continue parce que j'ai pas tous les éléments de G.

1+H={1,3,5}

Donc là on a obtenu tous les éléments de G donc : G/H={H, 1+H}

Mais si on continuait on voyait bien que 0+H=2+H=4+H et 1+H=3+H=5+H

Pour en revenir à notre exercice, pourquoi déjà on choisit de prendre une transposition ? et pas un 3-cycle ou 4-cycle? et pourquoi doit-on prendre une transposition qui n'appartient pas à H ?

[tournesol]

Tu as répondu à ta question en constatant que 2+H=H et que 4+H =H
si tu veux un représentant d'une classe qui n'est pas H , il ne faut donc pas choisir un élément x de H pour l'engendrer par xH .
Pourquoi une transposition ? c'est pas obligatoire mais c'est ce qu'il y a de plus simple a manipuler .
Tu évites les prises de tête inutiles . Il y en a déjà assez dans les maths .