Indice permutation

[LauraLe]

Ah mais oui ! Je veux toutes les classes à gauche de de Sn. Donc déjà j'ai H parce que H=Sn-1 mais maintenant il me faut toutes les autres mais différentes de H.

Si je rédige correctement la réponse à la question (j'ai mis mes doutes en gras)

Commençons par trouver l'indice de H dans Sn.

Nous avons la proposition suivante : Si A est une partie génératrice de B et si B est une partie génératrice de C , alors A est une partie génératrice de C.

Toute transposition (i j) peut s'écrire comme produit de transposition du type (1 k) avec k appartient {2..., n} car (i j) =(1 i)(1 j)(1 i). Par conséquent, les transpositions (1,k) 0<=k<=n engendrent les transpositions (i,j) , 1<=i<j<=n
Or ces transpositions engendrent Sn.
Donc les transpositions (1,k) 0<=k<=n engendrent Sn .

On considère le sous-groupe H =<(1 k) : 2<=k<=n-1> de Sn.
Autrement dit H est le sous-groupe engendré par les transpositions du type (1,k) avec 1<k<n.
Donc H est égal à Sn-1.

L'indice de H dans Sn est (Sn : H)= |Sn|/|H|= n!/(n-1)! = n


Cherchons un ensemble de représentants pour les classes à gauche de Sn modulo H.

La relation R : x R y si x^-1y appartient à H est une relation d'équivalence sur Sn. La Cl(x) est égale à xH= {xy appartient Sn : y appartient Sn-1}. L' ensemble de représentants pour les classes à gauche de Sn modulo H est m'ensemble des classes à gauche de Sn modulo H.

L'indice de (Sn :H) = n. Il y a donc n classes . Il faut n représentants .
H= Sn-1 est facile à caractériser dans Sn : l'ensemble des permutations qui laissent n invariant .
Donc les représentants des n-1 classes différentes de H doivent impérativement opérer sur n . Mais il faudra démontrer ensuite qu'ils sont tous dans des classes différentes .

On doit choisir un élément dans chaque classe .
Pour représenter H le plus simple est de choisir l'identité .
De plus, si on choisit un élément qui n'opère pas sur n, il est dans H et xH sera égal à H .
On doit donc choisir pour représenter les n-1 classes qui ne sont pas l'identité , n-1 permutations "simples" qui opèrent sur n .
Donc pour {(i,n) ;1<=i<=n-1} est un ensemble de représentant de toutes les classes à gauche modulo H , et différentes de H . Id représentera H .

Maintenant vérifions que les n-1 représentants de toutes les classes à gauche modulo H sont dans des classes différentes.
Il faut do,c appliquer le critère: x^(-1)y appartient à H (avec x appartenant Sn et y appartenant à Sn-1)
Pour i et j dans {1,n-1} on a clairement (i,n)^(-1)(j,n) appartient à H ssi i=j .
En effet, (i,n)^(-1)(j,n)=(i,n)(j,n)=id et id appartient à H
Donc les n-1 représentants de toutes les classes à gauche modulo H sont dans des classes différentes.

Conclusion : {(i,n) ;1<=i<=n-1} est un ensemble de représentant de toutes les classes à gauche modulo H. (Doit -t-on rajouter H =id ?)

[tournesol]

premier doute : OK
deuxième doute : x et y appartiennent tous deux à Sn .
troisième doute : H n'est pas égal à l'identité , sinon il ne contiendrait qu'un seul élément.
On peut le représenter par l'identité (le représentant choisi dans H est l'identité)
H peut en fait être représenté par n'importe quelle permutation de S3 . J'ai choisi l'identité par simplicité.

[LauraLe]

On peut le représenter par l'identité (le représentant choisi dans H est l'identité)
H peut en fait être représenté par n'importe quelle permutation de S3 . J'ai choisi l'identité par simplicité.

Exacte !

Je vous remercie sincèrement de l'aide que vous m'avez apporté. Je vous souhaite une bonne journée !

Cordialement

[tournesol]

Bon courage et bonne continuation dans tes études .