Indicatrice d'Euler

[Al-Kashi]

Bonjour à Tous,

J'ai trois questions, la première je l'ai faite mais je bloque sur les deux autres.

1. Soit un entier naturel non nul. Montrer que :

(Ok! c'est fait).

2. On pose .


Montrer que :




Application: Dans un repère orthonormé, on considère les points



Quel est le nombre de segments (ouverts) , où qui ne contiennent pas de points à coordonnées entières?

Merci d'avance pour toutes vos indications.

[Ben314]

Salut,

Montrer que :

Comme d'hab... je comprend rien...
Ca serait quand même pas con au niveau "supérieur" de commencer à comprendre qu'il faut absolument préciser la nature des variables qui apparaissent (Ex : pour tout entier d, pour tout m, il existe un entier n, . . . )
Là, ta somme, c'est quoi :
- n est connu et on fait la somme sur les d qui divisent le n connu ? (là, c'est très con vu que le truc qu'on somme dépend pas de d)
- d est connu et on fait la somme sur les n multiple de d ? (là, c'est encore plus con vu que le résultat risque pas de dépendre de n qui est une variable muette)
- Autre chose ?
La formule est valable
- Pour tout d ? tout n ? tout m ?
- Pour certain n et tout m ?
- etc...

[Al-Kashi]

Bonsoir,

Merci pour tes remarques ... c'est un oubli de ma part .

m et n sont deux entiers naturels non nuls fixés. La somme porte sur tous les diviseurs de l'entier non nul n.

[samoufar]

Bonsoir,

Ça ne serait pas plutôt par hasard ?

Ensuite, par définition. La première question te laisse alors intuiter que tu dois montrer que ...

Pour l'application, je ne peux que te conseiller de faire une figure et de voir ce que ça donne. Par exemple, si contient un point à coordonnées entières, que valent ces coordonnées par rapport à celles de ?

[Ben314]

A force de gamberger, je pense que et sont fixés et que la somme c'est .
Mais j'aimerais quand même bien comprendre d'où ça vient cette habitude (hélas de plus en plus fréquente...) de laisser au lecteur le soins de quantifier lui même les variables qui apparaissent un peu partout.

C'est vraiment trop la mer à boire de se fendre d'écrire "" avant de parler de et de ?

[samoufar]

Mais j'aimerais quand même bien comprendre d'où ça vient cette habitude (hélas de plus en plus fréquente...) de laisser au lecteur le soins de quantifier lui même les variables qui apparaissent un peu partout.

Beaucoup le font par souci de rapidité (ou de paresse, mais dans tous les cas à tort ). Bien évidemment en se disant "bah ouais, si j'appelle ça et , ça se voit qu'il s'agit d'entiers". Sauf que eux le savent parce que leur énoncé le leur indique clairement, mais le lecteur, lui, n'a a priori aucune idée de ce que ça doit être...

En résumé, utiliser un paramètre ou une variable sans les avoir défini clairement, c'est (très) mal

[Al-Kashi]

Bonsoir,

Ça ne serait pas plutôt par hasard ?

Dans mon énoncé c'est bien marqué

Ça m'a semblé étrange c'est pour cette raison je tourne en rond.

[samoufar]

Quand une formule pareille semble étrange, il vaut mieux la tester pour des cas particuliers simples et voir ce que ça donne. En l'occurence, il est assez clair qu'elle ne marche pas si ... De plus, avec l'indication que je t'ai donné tu peux montrer que c'est bien de qu'on parle

[Al-Kashi]

J'ai répondu aux deux questions.

Pour l'application, graphiquement je conjecture que que le nombre de segments en question est avec .

Il reste à démontrer la conjecture .... ce n'est pas évident pour le moment

[Ben314]

Concernant l'histoire de quantifier (ou pas) les variables qui apparaissent, perso., j'ai toujours pensé que, si on imposait de façon catégorique de les écrire, ça pourrait éventuellement pas mal aider les élèves/étudiants et ce, dés le Lycée, voire même dés le collège :
Par exemple, je me dit que, si au lieu de laisser les élèves écrire que ou que f(x)=x² on les obligeait à écrire que pour tout entier n ou que f(x)=x² pour tout réel x, ça risquerait éventuellement d'en aider quelques uns à comprendre pourquoi ou pourquoi f(x+1)=(x+1)² : si c'est vrai pour tout les entiers ou pour tout les réels alors c'est en particulier vrai pour l'entier n+1 ou pour le réel x+1.

Bon, évidement, l'expérience montre que ce qui risquerais d'arriver, c'est que beaucoup écrivent le "pour tout entier n" sans lui donner aucun sens, mais uniquement par habitude et qu'évidement, vu comme ça, c'est sans le moindre intérêt...

Sinon, concernant la preuve de la conjecture, ben suis le conseil de samoufar :

...si contient un point à coordonnées entières, que valent ces coordonnées par rapport à celles de ?

[Al-Kashi]

Pour l'application, je ne peux que te conseiller de faire une figure et de voir ce que ça donne. Par exemple, si contient un point à coordonnées entières, que valent ces coordonnées par rapport à celles de ?

Merci pour ton indication, mais le segment ouvert peut contenir plusieurs points et du coup je n'arrive pas à voir le lien. Je cherche mais ça n'avance pas

[Ben314]

Merci pour ton indication, mais le segment ouvert peut contenir plusieurs points et du coup je n'arrive pas à voir le lien. Je cherche mais ça n'avance pas

Il peut effectivement en contenir plusieurs, mais la question n'est pas là, la question c'est "à quelle condition n'en contient-il aucun ?"
Le segment reliant (0,0) à (245,504) contient il des points entiers (autres que les extrémités) ? (*)
Et celui de (0,0) à (225,392) ?

(*) Ca a pas d'utilité pour l'exercice, mais on peut aussi répondre à la question "si oui, lesquels ?"

[Al-Kashi]

Le segment reliant (0,0) à (245,504) contient des points entiers car 245 et 504 ne sont pas premiers entre eux.
Le segment reliant (0,0) à (225,392) n'en contient pas car 225 et 392 sont premiers entre eux.

[Al-Kashi]

Pour l'application, je ne peux que te conseiller de faire une figure et de voir ce que ça donne. Par exemple, si contient un point à coordonnées entières, que valent ces coordonnées par rapport à celles de ?

Le segment peut contenir plusieurs points, j'ai beau cherché le lien que tu as évoqué mais sans succès

[samoufar]

As-tu fait une figure pour voir comment ça marche ?

Normalement, en faisant une figure, tu te rends compte que si on note les points à coordonnées entières du segment , les segments de la forme sont identiques. Ce qui suggère une relation de proportionnalité entre les coordonnées des et celles de (avec un coefficient dépendant bien évidemment de )...

[Ben314]

Là où il y a un truc qui m'échappe un peu, c'est cette réponse :

Le segment reliant (0,0) à (245,504) contient des points entiers car 245 et 504 ne sont pas premiers entre eux.
Le segment reliant (0,0) à (225,392) n'en contient pas car 225 et 392 sont premiers entre eux.

Ca donne quand même fortement l'impression que tu as compris qu'un segment ouvert ]O,M[ ne contient aucun point à coordonnées entières ssi les coordonnées de M sont premières entre elle.
Et avec ça, ton exo il est clairement fini.

Ou alors, le soucis se situe au niveau que le truc en question, tu l'a compris, mais que tu arrive pas à le démontrer ?

[Al-Kashi]

C'est fait.

Merci pour tout.

Bonne soirée.