V.a et indépendance

[Cam12]

Salut,

J'ai une suite de v.a.r indépendantes avec suit une loi de Bernuilli de paramètre et suit une loi de Poisson de paramètre

On pose et

On demande de montrer que p.s et de même pour

J'ai utilisé Borel Cantelli pour montrer que p.s mais pour l'appliquer correctement je dois supposer les indépendantes donc voilà ma question (toute simple mais j'ai un doute quand même) :

Si je dis que les sont indépendantes, est ce que cela entraîne que les ET sont indépendantes?
Réciproquement, si on sait par exemple que seulement les X_n sont indépendantes, on ne peut pas en déduire l'indépendance des Z_n?

En y réfléchissant je pense que les Z_n sont indépendantes ssi les X_n ET Y_n sont indépendantes. Est ce juste?

[ToToR_2000]

En y réfléchissant je pense que les Z_n sont indépendantes ssi les X_n ET Y_n sont indépendantes. Est ce juste?

Oui c'est ça. En fait les Z_n appartiennent à un espace de dim 2, et on peut considérer que les deux dimensions sont indépendantes l'une de l'autre. En réalité, il me semble que la preuve rigoureuse de ce truc n'est vraiment pas triviale et en partique, on se contente d'admettre cette propriété.

[Cam12]

Ok merci pour ta réponse, ce résultat me paraissait trivial jusqu'à ce que j'essaie de le démontrer....
Je l'admets pour l instant.

[Doraki]

C'est pas très difficile dans le sens Z1 Z2 indépendants => X1 X2 indépendants :

Si A1 et A2 sont deux ensembles mesurables,
P(X1 dans A1 et X2 dans A2)
= P(Z1 dans A1*R et Z2 dans A2*R)
= P(Z1 dans A1*R) * P(Z2 dans A2*R)
= P(X1 dans A1) * P(X2 dans A2)

L'autre sens découle de la définition des tributs produits.