Indépendance des variables aléatoires

[matheo59]

Bonjour,

Si X, Y et Z sont des variables aléatoires telles que, d'une part, X et Y indépendantes et, d'autre part, X et Z indépendantes.
On ne sait pas a priori si Y et Z sont indépendantes.

Est-il vrai que X et le vecteur aléatoire (Y, Z) sont indépendants ?

J'ai envie de dire que oui, mais je me demande s'il n'y a pas un piège quelque part...

[GaBuZoMeu]

À part l'envie que tu as que ce soit vrai, quel serait ton argument ?

[matheo59]

Bah comme X est indépendant de chacune des 2 composantes de ce vecteur, ça me semblerait "logique" de dire que X est indépendant du vecteur (Y, Z)... Mais je n'arrive pas à le montrer formellement. D'où l'idée qu'il puisse y avoir un piège.

Si on sait de plus que Y et Z sont indépendantes, c'est vrai car la famille {X, Y, Z} est alors indépendante et on peut "regrouper" les composantes. Mais sans hypothèse sur Y et Z, je n'en sais rien.

[GaBuZoMeu]

Si X et Y prennent les valeurs -1 et 1 de façon équiprobable et sont indépendantes et Z=XY ?
Que se passe-t-il ?

PS : est-ce que dans ce cas Y et Z sont indépendantes ?

[matheo59]

Effectivement, ça ne marche pas non plus...
En fait je crois que j'ai dû confondre "famille de variables indépendantes" et "famille de variables 2 à 2 indépendantes".
X, Y, Z sont 2 à 2 indépendantes, mais pas indépendantes. C'est bien ça ?
Parce que, sinon, on a le résultat de regroupement décrit ici par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ind%C3%A9pendance_(probabilit%C3%A9s)#Lemme_de_regroupement

[GaBuZoMeu]

Ben ouais, l'indépendance deux à deux ou l'indépendance de la famille, ce n'est pas pareil !

[matheo59]

Ok, merci !