Inclusion d'espaces vectoriels

[Science]

Bonjour j'ai un gros soucis pour démarrer avec cet exercice :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Soit U un sev de E. Montrer que si U est inclus dans f(U) alors f(U)=U.

Je veux juste une piste pas la réponse complète.

Merci de votre aide

Cordialement

Science

[Ben314]

Salut:
Une piste... :
En dimension FINIE, systématiquement penser à des arguments de dimension...

[bentaarito]

t'as un puissant théoreme dit de rang!
il suffit de considérer la restriction de f sur U. :lol3:

[Science]

je sais que dim(E)=dim(ker(U))+rg(f)
Le problème est que je sais pas comment réduire cette relation à U.
par contre je vois bien qu'il faut que je montre dim(U)=dim(f(U)).

[bentaarito]

je sais que dim(E)=dim(ker(U))+rg(f)
Le problème est que je sais pas comment réduire cette relation à U.
par contre je vois bien qu'il faut que je montre dim(U)=dim(f(U)).

comme je vous ai dit, il suffit de considérer la restriction de f sur U, et y appliquer le th. du rang (U remplace E) :zen:

[benekire2]

Salut , si tu est hermétique au théorème du rang :

peut tu me donner une famille génératrice de f(U) , et une base de U ? Conclusion , on montre que dim(f(U))=< dim (U) , ce que l'on veut :lol3:

Mais en suivant les conseils de bentaarito c'est mieux :) dim f(U) = dim U -dim ker U