Immersion

[Ncdk]

Bonjour,

Soit un arc paramétré lisse régulier de , et une application de dans .
est donc un arc paramétré lisse de .

1) Soit . Exprimer en fonction de et .
2) En déduire que si est en tout point injective (on dit que est une immersion), est régulier.
3) On considère un paramétrage du cercle unité . Donner un vecteur tangent au point de paramètre .
En déduire un vecteur tangent au point de paramètre de l'image du cercle par

J'avais, avant même de commencer l'exercice, une question pour savoir ce que c'était un arc paramétré lisse, ou mieux encore, savoir pourquoi, l'arc paramétré lisse si et seulement si est .
Est-ce que cette notion est intuitive, c'est-à-dire que le terme lisse montre qu'il n'existe pas de points sur l'arc où il n'y a pas de tangente à ce point, c'est-à-dire que chaque point de l'arc admet une dérivée ?
Mais même, je ne vois pas l'explication du

1) J'ai simplement écrit la différentielle d'une composé de fonctions différentiables qui est
2) On sait par l'énoncé que est car lisse.
On cherche à savoir si pour tout point ,

Donc si pour tout point ,

mais f'(t) \neq 0, car c'est un arc régulier, mais il me manque un truc, c'est déjà d'utiliser le fait que F est une immersion et de déduire ce que j'ai dit au-dessus.

J'ai voulu un peu travailler sur la définition de l'injectivité, c'est-à-dire si on prend un couple , implique que (Car linéaire)
Du coup on a pour tout que

[Ben314]

Déjà, une question con : c'est quoi que tu entend par "lisse" (j'ai pas trouvé sur Wiki...)
C'est bon : j'ai trouvé sur un PDF : lisse= (c'est vraiment trop long à écrire ?)

Sans parler du fait que j'avais pas lu la suite de ton post où... tu pose la même question que moi...
Et vu la façon dont tu pose la question, j'aurais bêtement tendance à répondre "c'est la définition" (je vérifie sur le PDF que j'ai trouvé...)
Là : http://www.math.u-bordeaux1.fr/~pmounoud/tds/chap1.pdf (en haut de la page 2)

J'ai cherché si je trouvais autre chose et j'ai trouvé que 3 PDF tous de la fac de bordeaux et un de l'ENS (où il y a le mot, mais pas la définition...) donc perso, je partirais sur du "c'est la définition" et point barre (et évidement, c'est pas en regardant uniquement s'il y a des tangentes ou pas que ça va te donner le coté du bidule)

Sinon, concernant la suite, c'est bon jusqu'au moment ou tu écrit (plus ou moins) une grosse connerie vu que ça donne l'impression que, si L est une application linéaire (en l'occurrence la différentielle de f en xo), tu confond L=0 (i.e. L est identiquement nulle) avec L.x=0 pour un certain x non nul ("défaut" d'injectivité).
De nouveau, il n'y a quasiment rien a dire : ça marche vu que (par définition) être une immersion, ça veut justement dire que la différentielle est injective (et pas seulement qu'elle est non nulle) en tout point.

A la fin de ton laïus, visiblement, tu rectifie le tir, donc c'est bon, modulo évidement d'écrire que, pour tout x non nul on a dF_f(t).x non nul (dernière phrase)

[Ncdk]

C'est vrai que aurait été plus rapide sur le papier

Par contre je n'ai pas compris quand tu parles de l'application L, enfin le lien avec mon post, du moins je pense à la fin ou j'ai dit parce-que c'est linéaire que , je remets ça pour pas mentir ou quoi, c'est ce que je pense, alors autant me faire taper sur les doigts

Honnêtement, je me souviens plus pourquoi je peux dire que c'est vrai cette égalité, je sais juste que l'application est linéaire et dans mes souvenirs, il me semblait que c'était un des résultats des applications linéaires.

[Ben314]

On cherche à savoir si pour tout point ,

C'est là que c'est pas bon ce que tu écrit : tu te pose la question de savoir si la différentielle est (ou pas) nulle alors que c'est pas ça la question.

Mais plus loin, tu "rectifie" le tir en te posant la bonne question.

Sinon, concernant l'application linéaire L dont je parle, c'est juste la différentielle de F en un point fixé et la question est de savoir s'il est possible d'avoir L(x)=0 avec x non nul (donc de savoir si L est injective ou pas)

[Ben314]

J'ai voulu un peu travailler sur la définition de l'injectivité, c'est-à-dire si on prend un couple , implique que (Car linéaire)
Du coup on a pour tout que

Là aussi, il y aurait (très nettement) à redire : déjà, on s'en fout complètement de savoir si 0 est ou pas dans U et, de façon plus générale, autant pour pouvoir (éventuellement) calculer il faut évidement que , mais ensuite, si existe, c'est bêtement une application linéaire de tout entier dans donc dans l'expression le vecteur il a aucune raison particulière d'être dans (c'est quand même assez rare qu'en algèbre linéaire "basique" on s'intéresse à ce qu'il se passe lorsque les vecteurs sont dans un ouvert a priori quelconque de l'espace...)

Bref, c'est un peu ce qui ressortait de ta prose : tu as légèrement "oublié" que (une fois fixé), c'est une "bête" application linéaire de dans et que de dire qu'elle est injective ça veut précisément dire que son noyau est réduit à .

[Ncdk]

D'accord, oui en effet, c'était plus une chose que j'ai noté pour savoir les choses que je manipulais, une sorte de repérage, dans quoi évolue les choses que je prends, par exemple le couple d'éléments, il est dans quoi, juste pour moi en fait.

Mais concernant je comprends pas si l'un doit être différent de 0 par définition, l'autre aussi non, enfin c'est ce a quoi je dois aboutir non ?

[mathelot]

la courbe est lisse tandis que la fonction est

[Ben314]

Mais concernant je comprends pas si l'un doit être différent de 0 par définition, l'autre aussi non, enfin c'est ce a quoi je dois aboutir non ?

Je comprend pas trop qui c'est "l'un" et "l'autre".
L'égalité que tu as écrit, elle est valable pour n'importe quoi (qui soit dérivable/différentiable).
Après, ce que tu veut montrer, c'est que (Fof)'(t) est non nul (quelque soit t) pour prouver que Fof est effectivement un lacet régulier et là, tu utilise tes deux hypothèses :
- Le lacet f est régulier donc f'(t) est un vecteur non nul.
- L'application linéaire dF_{f(t)} est injective donc l'image par cette application d'un vecteur non nul est de nouveau un vecteur non nul.