Image

[Anonyme]

Bonjour,

On a n dans N\{0,1} et E=Cn[X]
f: E->E telle que qqsoit P de E,
f(P)=(X²-X)*P(1)+(X²+X)*P(-1)

on veut trouver l'image de f.

on a f(P)= [P(1)+P(-1)]X²-[P(1)-P(-1)]X

je suis d'accord que Im(f) est inclus dans Vect(X,X²).

mais je ne comprends pas pourquoi pour affirmer que Im(f)=Vect(X,X²), on
utilise le fait que f(1)=2X² et f(X)=-2X.

merci

[Anonyme]

"Wenceslas" a écrit dans le message de news:
20030901132709.28444.00000422@mb-m03.aol.com...
> Bonjour,
>
> On a n dans N\{0,1} et E=Cn[X]
> f: E->E telle que qqsoit P de E,
> f(P)=(X²-X)*P(1)+(X²+X)*P(-1)
>
> on veut trouver l'image de f.
>
> on a f(P)= [P(1)+P(-1)]X²-[P(1)-P(-1)]X
>
> je suis d'accord que Im(f) est inclus dans Vect(X,X²).
>
> mais je ne comprends pas pourquoi pour affirmer que Im(f)=Vect(X,X²), on
> utilise le fait que f(1)=2X² et f(X)=-2X.
>
> merci
>

L'application est linéaire, son image un sev contenant 2X^2 et -2X (non
liés) et inclus dans H=Vect(X,X^2) donc égal à H.

[Anonyme]

In article ,
navilys2001@aol.com (Wenceslas) wrote:

> On a n dans N\{0,1} et E=Cn[X]
> f: E->E telle que qqsoit P de E,
> f(P)=(X²-X)*P(1)+(X²+X)*P(-1)
>
> on veut trouver l'image de f.
>
> on a f(P)= [P(1)+P(-1)]X²-[P(1)-P(-1)]X
>
> je suis d'accord que Im(f) est inclus dans Vect(X,X²).
>
> mais je ne comprends pas pourquoi pour affirmer que Im(f)=Vect(X,X²), on
> utilise le fait que f(1)=2X² et f(X)=-2X.

Bonjour,
la fonction f est linéaire. Si une base d'un espace vectoriel est
atteinte, l'espace tout entier l'est. Ici, 2X^2 et -2X forment une base
de Vect(X, X^2).

Camille