Image d'un segment

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soit une fonction continue avec alors est majorée et admet un maximum .

Il y a un détail que je ne comprends pas dans la démonstration.... D'après le livre elle est non exigible pour le niveau MPSI.

Supposons que ne soit pas majorée. D'abord montrons qu'il existe une suite à valeurs dans telle que
En effet, n'est pas majoré et donc pour tout entier naturel , il existe tel que
J'interprète qu'en passant à la limite donc converge.
D'après lé théorème de Bolzano-Weirestrass, il existe une sous suite extraite convergente on note sa limite.
Par extraction, nous avons :

Je n'ai pas compris d'où sort le "par extraction, nous avons : " ?

D'après l'inégalité il est clair que : mais je ne vois pas comment en déduire que

Ensuite je dois démontrer le même résultat lorsque est minorée.

[Kolis]

Ton "J'interprète qu'en passant à la limite..." ne va pas du tout : tu n'as aucune raison de supposer la suite convergente.
Par contre il existe (Bolzano-Weierstrass) une suite extraite convergente.

Pour la fin tu es ridicule de ne pas voir que n'est autre qu'une suite extraite de (donc a aussi la limite ) ou alors tu n'as rien compris aux suites extraites !

[capitaine nuggets]

Tu n'as même pas fini ton exercice de prolongement par continuité que tu ouvres une nouvelle discussion... Tu ne t'investis pas dans tes exos. A chaque fois tu les postes, tu ne les réussis pas, on te donne la solution et tu passes à autre chose, ce n'est pas sérieux...

P.S. : Profites-en bien, la rentrée approche, ce petit manège ne durera plus très longtemps. Ne crois pas que tu monopoliseras l'attention de ce forum ou d'un autre d'ailleurs.

[lyceen95]

Ensuite je dois démontrer le même résultat lorsque est minorée.

Donc tu dois d'abord répondre à une question niveau MPSI ( et même hors programme en MPSI), puis tu dois répondre à une question niveau classe de seconde.
Attention, ici, des gens t'aideront pour la 1ère question, ils ne t'aideront pas pour la question niveau classe de seconde. Tu vas devoir réfléchir par toi-même.


Je pense que tu devrais reprendre les exercices que tu as posés ici il y a un mois par exemple.
Reprend ces exercices, sans regarder les réponses.
* Soit tu sais mintenant faire les exercices en question, très bien.
* Soit tu penses que les questions d'il y a un mois étaient vraiment des questions faciles, qui n'avaient rien à faire dans un forum dédié au 'supérieur'.
* Soit tu peines à faire ces exercices , un mois plus tard.

Où en est tu, un mois après ?

Je pense que cet exercice d'introspection te serait très utile, beaucoup plus utile que l'aide qu'on te donne ici ou là en faisant te exercices à ta place.

[mehdi-128]

Ton "J'interprète qu'en passant à la limite..." ne va pas du tout : tu n'as aucune raison de supposer la suite convergente.
Par contre il existe (Bolzano-Weierstrass) une suite extraite convergente.

Pour la fin tu es ridicule de ne pas voir que n'est autre qu'une suite extraite de (donc a aussi la limite ) ou alors tu n'as rien compris aux suites extraites !

Merci j'avais mal compris en effet

[mehdi-128]

Ensuite je dois démontrer le même résultat lorsque est minorée.

Donc tu dois d'abord répondre à une question niveau MPSI ( et même hors programme en MPSI), puis tu dois répondre à une question niveau classe de seconde.
Attention, ici, des gens t'aideront pour la 1ère question, ils ne t'aideront pas pour la question niveau classe de seconde. Tu vas devoir réfléchir par toi-même.


Je pense que tu devrais reprendre les exercices que tu as posés ici il y a un mois par exemple.
Reprend ces exercices, sans regarder les réponses.
* Soit tu sais mintenant faire les exercices en question, très bien.
* Soit tu penses que les questions d'il y a un mois étaient vraiment des questions faciles, qui n'avaient rien à faire dans un forum dédié au 'supérieur'.
* Soit tu peines à faire ces exercices , un mois plus tard.

Où en est tu, un mois après ?

Je pense que cet exercice d'introspection te serait très utile, beaucoup plus utile que l'aide qu'on te donne ici ou là en faisant te exercices à ta place.

J'aurais moins de temps car je reprends un poste de prof au collège mais je compte retenter de refaire quelques démonstrations classiques et pas trop difficiles que j'ai vu dans les anciens chapitres sans regarder la solution pour voir où j'en suis.
Je sais que ça va être difficile mais bon

[Kolis]

Ensuite je dois démontrer le même résultat lorsque est minorée !
Phrase incompréhensible !

Dans la première partie tu démontres que est majorée, quelle est exactement la question ici ?
Et en plus tu n'as toujours pas terminé cette première question.

Et il te reste aussi à montrer que la borne supérieure est atteinte.
admet un maximum ce n'est pas seulement est majorée.

[mehdi-128]

Montrons que si est une fonction continue avec alors est majorée et minorée et qu'elle admet un maximum et un minimum .

Supposons que ne soit pas majorée.
Alors n'est pas majoré et donc pour tout entier naturel , il existe tel que
D'après lé théorème de Bolzano-Weirestrass, il existe une sous suite extraite convergente on note sa limite.
Par extraction, nous avons :
Comme est continue en , on a et donc comme par continuité on a : ce qui est absurde.

Supposons que ne soit pas minorée.
Alors n'est pas minoré et donc pour tout entier naturel , il existe tel que
D'après lé théorème de Bolzano-Weirestrass, il existe une sous suite extraite convergente on note sa limite.
Par extraction, nous avons :
Comme est continue en , on a et donc comme par continuité on a : ce qui est absurde.

Montrons que admet un maximum .
Notons
Mon livre dit de raisonner par l'absurde en considérant la fonction
Supposons que n'admet pas de maximum.
Là je bloque.

[mehdi-128]

Notons et
Supposons que n'admet pas de maximum.
La fonction est continue sur car
Par définition de la borne supérieure, pour tout , il existe et donc tel que . La fonction continue sur un segment ne serait pas majorée, ce qui est contradictoire avec le premier point donc admet un maximum.

Posons :
Supposons que n'admet pas de minimum.
Je bloque ici : je ne vois pas quelle fonction poser pour utiliser le raisonnement précédent

[Kolis]

Il y a beaucoup trop de "coquilles" dans ton message :
à la place de , majorée au lieu de minorée...
Merci de corriger si tu veux un avis.

................................
Pour terminer, si pourquoi ne pas utiliser

[GaBuZoMeu]

Il n'y a pas de coquille dans le dernier message de mehdi-128.

[Kolis]

Pas de "coquille" quand il écrit pour montrer que est continue ?
D'accord, alors c'est juste faux !

[GaBuZoMeu]

OK, je n'avais pas vu celle-là, au temps pour moi. Mais quand tu dis "trop", tu dois en avoir vu beaucoup d'autres. Lesquelles ?

[pascal16]

pour moi il manque une petite justification, le résultat semble le même que les bornes soient fermées ou ouvertes en a et/ou b.

La justification ne devant pas dépasser les limites du savoir à l'instant t de la construction des connaissances.

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas bien ton intervention, pascal16. Le texte que suit mehdi utilise le fait prouvé précédemment qu'une fonction continue sur un segment (intervalle fermé borné) est bornée.

[mehdi-128]

Merci.
Je tente de finir la démonstration.

Posons :
Supposons que n'admet pas de minimum. Posons :
est bien définie et continue sur comme quotient de fonctions continues.
Par caractérisation de la borne inférieure, pour ,
Ainsi pour , il existe tel que :
ne serait pas majorée alors qu'elle est continue sur ce qui est absurde.

Dernier point : montrons que par double inclusion.

On a montré que est majorée par et minorée par donc : ce qui veut dire que
Ainsi, on a montré

Montrons que
Je pense qu'il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires : "Soit une fonction continue sur avec alors toutes les valeurs entre et sont atteintes par ."
Soit . Comme et sont des minimum et maximum de , il existe tels que et .
Ainsi
D'après le TVI, toutes les valeurs entre et sont atteintes par donc forcément
On a montré

Conclusion :

[pascal16]

quand on passe de la suite x.phi(n) à sa limite, il faut justifier que sa limite x est bien dans [a;b], sinon on ne peut pas utiliser la continuité de f sur [a;b] .
C'est pour ça que la propriété est fausse pour un intervalle (semi)ouvert,

[mehdi-128]

quand on passe de la suite x.phi(n) à sa limite, il faut justifier que sa limite x est bien dans [a;b], sinon on ne peut pas utiliser la continuité de f sur [a;b] .
C'est pour ça que la propriété est fausse pour un intervalle (semi)ouvert,

donc d'après le théorème d'encadrement :

[Kolis]

OK, je n'avais pas vu celle-là, au temps pour moi. Mais quand tu dis "trop", tu dois en avoir vu beaucoup d'autres. Lesquelles ?

Evidemment le mot "coquille" est vague !
Mais l'oubli de pour passer d'une inégalité à celle de l'inverse est, à certain niveau, une coquille mais, pour d'autres, un oubli à sanctionner (d'autant que le même oubli se voit dans la démonstration où il utilise ) !

Maintenant, deux est-ce "trop" ?

[GaBuZoMeu]

D'accord, tu te rattrapes aux branches comme tu peux.