Image d'un ensemble par une application

[Julsor]

Bonjour,

J'ai un problème avec cette propriété que j'arrive pourtant à démontrer sans problème :
Soit f une application de E dans F.
(f est injective) équivalent à (pour toutes parties A et B de E, f(A inter B) = f(A) inter f(B)).

Cependant si on prend par exemple :
A = {1,2,3} ; B= {3,4} et f telle que f(1) = a ; f(2) = a ; f(3) = b ; f(4) = c alors on a :
- A inter B = {3} et donc f(A inter B) = f({3}) = {b}
- f(A) = f({1,2,3}) = {a,b} et f(B) = f({3,4}) = {b,c}. Ainsi, f(A) inter f(B) = {a,b} inter {b,c} = {b}.

Donc on a f(A inter B) = {b} = f(A) inter f(B) alors que f n'est pas injective ("l'élément a" a deux antécédents : 1 et 2).

Je n'arrive pas à trouver où se situe mon erreur de raisonnement.

Merci d'avance !!

[lyceen95]

Où est la contradiction ?

(f est injective) équivalent à (pour toutes parties A et B de E, f(A inter B) = f(A) inter f(B))
ça veut dire :
(f est injective) entraine (pour toutes parties A et B de E, f(A inter B) = f(A) inter f(B))
et
(pour toutes parties A et B de E, f(A inter B) = f(A) inter f(B)) entraine (f est injective)

Laquelle de ces 2 implications ne serait pas vraie, dans ton contre-exemple ?

[catamat]

Bonjour

Si on prend les négations des deux propositions cela devient

f n'est pas injective si et seulement si il existe au moins deux parties A et B de E telles que ne soit pas égal à .

Ok les deux parties A et B choisies ne vérifient pas cette condition mais il est facile d'en trouver deux autres qui la vérifient ce qui confirme la non injectivité de f.

[tournesol]

Dans ton exemple:
A={1,3} et B={2,4}
A interB = vide , donc f(A inter B)=vide
f(A) inter f(B)={a}