Image d'un endomorphisme

[allmess]

Bonsoir,
J'ai beau me creuser la tête, je n'arrive pas à déterminer l'image de l'endomorphisme suivant:

Soient A un polynôme non nul de R[X] et q:R[X];)R[X] l'application définie par :
;)P;)R[X], q(P) est le quotient de la division euclidienne de P par A

Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait super! :)

Merci d'avance!

[DamX]

Bonjour,

si tu prends un P au hasard dans R[X], est-ce que tu peux lui trouver un antécédent par q, c'est à dire S dans R[X] tel que q(S) = P ?

Damien

[allmess]

En reprenant tes notations, S s'ecrirait : S=P-R avec R dans R[X]?

[DamX]

En reprenant tes notations, S s'ecrirait : S=P-R avec R dans R[X]?

hum non, tu peux prendre S = AP, ou S = AP+R, tant que deg(R)<deg(A). Bref et du coup qu'en déduis-tu pour l'image de q ?

[allmess]

hum non, tu peux prendre S = AP, ou S = AP+R, tant que deg(R)<deg(A). Bref et du coup qu'en déduis-tu pour l'image de q ?

Im(q) serait donc {P;)R[X] | P=(S+R)÷A}.. C'est maladroit, mais j'arrive pas à voir plus loin.. :/

[DamX]

Im(q) serait donc {P;)R[X] | P=(S+R)÷A}.. C'est maladroit, mais j'arrive pas à voir plus loin.. :/

Im(q), cest bien l'ensemble des éléments de R[X] qui ont un antécédent par q, on est d'accord ?

Si tu prends un P dans R[X] quelconque, d'après ce qu'on a dit avant, est-ce qu'il a (au moins) un antécédent par q ?

[zygomatique]

salut

il me semble que l'anneau R[x] possède une division euclidienne ... est un anneau euclidien ....

donc pour tout polynome P il existe un polynome Q et un polynome R avec deg(R) < deg(A) tel que

P(x) = A(x)Q(x) + R(x)


et pour tout polynome B multiple de A <=> B(x) = T(x)A(x) alors ::

P(x) + B(x) = A(x)[Q(x) + T(x)] + R(x)

....

[allmess]

Im(q), cest bien l'ensemble des éléments de R[X] qui ont un antécédent par q, on est d'accord ?

Si tu prends un P dans R[X] quelconque, d'après ce qu'on a dit avant, est-ce qu'il a (au moins) un antécédent par q ?

Merci de ta patience !
Alors oui je m'étais trompé de sens pour Im(q), désolé..
Si on prend un P dans R[X] on auras toujours un S dans R[X] qui s'ecrira S=PA+R.. Et ducoup Im(p) c'est R[X] en entier ?...

[zygomatique]

Merci de ta patience !
Alors oui je m'étais trompé de sens pour Im(q), désolé..
Si on prend un P dans R[X] on auras toujours un S dans R[X] qui s'ecrira S=PA+R.. Et ducoup Im(p) c'est R[X] en entier ?...

im(p) .... ou im(q) ?

et n'importe quoi ....

si P(x) = A(x)Q(x) + r(x) que vaut q(P) ?

[DamX]

Merci de ta patience !
Alors oui je m'étais trompé de sens pour Im(q), désolé..
Si on prend un P dans R[X] on auras toujours un S dans R[X] qui s'ecrira S=PA+R.. Et ducoup Im(p) c'est R[X] en entier ?...

Et oui !
D'après ce qu'on a dit, tu peux d'ailleurs dire que q est surjective, mais n'est pas injective car tu peux avoir plusieurs antécédents pour un même polynôme.

Question subsidiaire : Quel est le noyau de q ?

[allmess]

Et oui !
D'après ce qu'on a dit, tu peux d'ailleurs dire que q est surjective, mais n'est pas injective car tu peux avoir plusieurs antécédents pour un même polynôme.

Question subsidiaire : Quel est le noyau de q ?

Merci
Le noyau me pose à priori moins de problème... C'est l'ensemble des P de R [X] tel que q(P) =0..ie le polynôme nul.. ?

[DamX]

Merci
Le noyau me pose à priori moins de problème... C'est l'ensemble des P de R [X] tel que q(P) =0..ie le polynôme nul.. ?

Le noyau c'est bien cette définition oui, mais ce n'est pas le polynôme nul .. Enfin il fait bien parti du noyau, mais il est loin d'être tout seul. Si le noyau était réduit au polynôme nul, ça voudrait dire que l'application est injective, qu'un même polynôme ne peut avoir plusieurs antécédents, ce qui n'est pas le cas comme on vient de le dire juste avant.

Donc reprenons, le noyau c'est l'ensemble des P tel que q(P) = 0, sachant que q(P) est donc le quotient de P par A. Pour imager, prenons un exemple et supposons que A = X², pour quels P le quotient de P par X² va-t-il donner 0 ? Là encore tu peux prendre des exemples pour te faire une idée ? si P = 1, si P = X+2, si P = 3X²-5, si P = X^3...

[paquito]

Il est clair que quelque soit avec , donc et sont 2 antécédent de; mais on est en dimension infinie.
Au fait, as tu montré que q était linéaire?