Image application linéaire avec matrice

[Rockleader]

Bonjour, j'ai une matrice 3x3

(m+1)... 8...0
3...m+3...1
3m-9...5m-15...m-3

Désolé je retrouve plus le code tex pour ça.

J'ai trouvé que cette matrice Am était inversible pour m différent de -1;2;3

J'ai trouvé que le rang de la matrice était de 2 par Gauss (peut on le voir plus rapidement ?) car je ne vois pas de relation entre les colonnes.




Soit fm R^3 -> R^3
l'application linéaire dont Am est la matrice dans la base canonique de R^3

Je dois trouver Im et ker de f pour chaque m

Pour m différent de -1;2;3 j'ai dis que Imf = R^3 mais je ne saurais pas le prouver.
Quand au kerf je pressens (0;0;0) mais je saurais pas dire pourquoi non plus --'

Ensuite pour un m donné, j'ai un système d'équation qui me permet d'identifier les coordonnées; par exemple pour m=-1 kerf = (1,0,-3)
Mais pour ce qui est de l'image je ne sais pas du tout comment procéder

[Joker62]

Hello.

Le déterminant est bien (m+1)(m-2)(m-3)

Si m n'est donc pas égal à -1 ; 2 ou 3, alors Am est inversible et dans ce cas le noyau vaut ?

Pour le rang, peut-être le théorème du rang ?

Donc en fait ce qui compte et ce qu'il y a de plus intéressant, c'est de trouver le noyau et l'image quand m = -1 ; 2 ou 3

[Archibald]

Bonjour,







Ok, pour les valeurs pour laquelle n'est pas inversible. On peut en déduire son rang maintenant que notre matrice est triangularisée, son rang dépend du nombre de ses pivots non nuls. D'où :





Donc tu as deux cas à traiter mais tout se déduit maintenant que t'as le rang de ta matrice en fonction du paramètre m.

[Rockleader]

Si m n'est donc pas égal à -1 ; 2 ou 3, alors Am est inversible et dans ce cas le noyau vaut ?

==> Je ne vois toujours pas

Si je pose Am=0 on sait que m devra être égal à -1,2 ou 3
D'où les équations que l'on trouve permettant de trouver ker f pour un m donné

Mais dans le cas où celui ci n'est pas donné je vois pas...

[Archibald]

Utilisation du théorème du rang :

Soit Alors :

Tu sais que :

et le rang de l'application (c'est-à-dire la dimension de ) dépend des valeurs prises par ton paramètre

Donc, tu as deux cas à traiter :

[Rockleader]

Ah ok, merci beaucoup !!