Idéaux premiers

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je bloque sur ce problème:

Soient un anneau abélien et un idéal propre de . Montrer que est un idéal premier si et seulement si pour tous idéaux et de on a

( est inclus strictement dans et dans )


Pour montrer l'implication directe, je n'ai pas eu de problèmes, mais pour l'implication indirecte, j'ai essayé directement de vérifier la définition, par contraposée, par absurde, ça veut pas :briques:

Par exemple si on se fixe tels que .

On a . D'après (1), on doit avoir ou bien , ou bien .

Si ou c'est fini, mais si par exemple rien ne nous dit qu'on a . Là je ne vois pas comment continuer dans le cas où je ne fais pas une fausse piste.

Merci pour vos indications.

[ThSQ]

Par l'absurde (Léon, ferme les yeux !) :

Si P n'est pas premier on prend a et b hors de P tq ab € P.

Alors P + (a) contient strictement P (et P + (b) zaussi).

(P + (a))*(P + (b)) = P + (a)P + (b)P + (ab)P est dans P contradiction !

[leon1789]

Par l'absurde (Léon, ferme les yeux !) :

:dodo: je suis ne week-end, zen :zen:

[leon1789]

Par l'absurde (Léon, ferme les yeux !) :

Si P n'est pas premier on prend a et b hors de P tq ab € P.

Alors P + (a) contient strictement P (et P + (b) zaussi).

(P + (a))*(P + (b)) = P^2 + (a)P + (b)P + (ab)P est dans P contradiction !

coquille sur le premier terme : il faut le carré
coquille sur le 4ième terme : pas de P

(P + (a))*(P + (b)) = P^2 + (a)P + (b)P + (ab)

[ThSQ]

coquille sur le premier terme : il faut le carré
coquille sur le 4ième terme : pas de P

(P + (a))*(P + (b)) = P^2 + (a)P + (b)P + (ab)

OK pour la 2ème coquille :briques: , mais P²=P !

[ThSQ]

Ok ok. Une petite vengeance ;)

[leon1789]

Ce que je sais :
P est premier

pour tous idéaux A,B , on a A ou B inclus dans P

(ça se prouve facilement)

Maintenant par contraposition, on a :
A ou B inclus dans P

A et B pas inclus dans P

Soient un anneau abélien et un idéal propre de . Montrer que est un idéal premier si et seulement si pour tous idéaux et de on a

( est inclus strictement dans et dans )

ça ne ressemble pas à
A et B pas inclus dans P ,
étrange non ? y a pas une erreur quelque part ?

[leon1789]

Ok ok. Une petite vengeance

:ptdr: je sais que tu ne m'en voudras pas pour ça.

[leon1789]

Soient un anneau abélien et un idéal propre de . Montrer que est un idéal premier si et seulement si pour tous idéaux et de on a

( est inclus strictement dans et dans )

c'est quansiment la même chose que de démontrer que P est premier si et seulement si A/P est sans diviseur de zéro.

[ThSQ]

:ptdr: je sais que tu ne m'en voudras pas pour ça.

Bien sur que non, ça serait absurde ...

[legeniedesalpages]

D'accord, je n'avais pas pensé à travailler avec la somme, merci.

[leon1789]

D'accord, je n'avais pas pensé à travailler avec la somme, merci.

tu connais le lien entre les idéaux contenant (strictement) P et les idéaux de A modulo P ?

[legeniedesalpages]

tu connais le lien entre les idéaux contenant (strictement) P et les idéaux de A modulo P ?

je sais juste que la projection induit une bijection entre ses deux ensembles.

[leon1789]

je sais juste que la projection induit une bijection entre ses deux ensembles.

projection ? c'est la première que j'entends cela (d'habitude, on dit simplement surjection), mais en fait, c'est pas bête :
f (x) = x + P et f(f(x)) = x + P + P = x + P = f(x)

ok, oui, une bijection strictement croissante.

L'assertion (1) parle d'idéaux modulo P. Tu es d'accord ?

[legeniedesalpages]

A gauche de l'implication je retranscris ça en : et sont des idéaux non réduits à dans .

A droite de l'implication j'ai du mal à retranscrire ça.

[legeniedesalpages]

projection ? c'est la première que j'entends cela (d'habitude, on dit simplement surjection), mais en fait, c'est pas bête :
f (x) = x + P et f(f(x)) = x + P + P = x + P = f(x)

la surjection ou projection canonique dans le cadre des relations d'équivalences, il me semble qu'on dit les deux. Elle est d'ailleurs souvent notée ou .

[leon1789]

oui, c'est vrai, c'est souvent noté comme ça.

A gauche de l'implication je retranscris ça en : et sont des idéaux non réduits à dans .

A droite de l'implication j'ai du mal à retranscrire ça.

ok pour la gauche, A et B contiennent des éléments non nuls modulo P
à droite, on dit qu'il existe tel que .

Est-ce que tu vois pourquoi cette assertions (1) montre que A/P est sans diviseur de zéro ? (a et b non nuls => ab non nul)

[legeniedesalpages]

ok je crois que j'ai saisis. j'écris ça demain.

merci

[leon1789]

D'où l'idée de faire un produit de deux éléments qui ne sont pas dans P, comme ThSQ l'a fait au début.

[legeniedesalpages]

ok j'ai compris maintenant, merci beaucoup.