Idéal de R[X,Y]

[Aispor]

Bonsoir, voici un exercice pas très sympathique (le dernier du semestre) enfin le dernier que je compte préparer ^^



Le problème est que je ne suis pas trop au point sur les opérations sur les polynômes. (Voir un peu à l'Ouest)
On n'a pas fais en cours d'algèbre de partie dessus, néanmoins on a vu :
Si A est un anneau commutatif et I un idéal de A :
- I est premier ssi A/I est intègre
- I maximal ssi A/I est un corps

Voilà, honnêtement je ne vois pas trop comment m'y prendre, si vous pouviez me donner une ou deux indications ^^
Je continue mes recherches.

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Ben les indications, c'est . . . ce que tu as écrit, à savoir de chercher qui c'est les quotients de A par I et J et d'en déduire la nature de I et de J.
Ensuite, pour "voir la nature" d'un quotient, en général, ce qu'on fait, c'est d'essayer de trouver un représentant par classe et si on y arrive (ici c'est très facile), on en déduit assez naturellement que le quotient en question est isomorphe à un anneau déjà connu (*) dont on connaît bien les propriétés (en particulier s'il est intègre ou pas et si c'est un corps ou pas).

(*) En utilisant le premier théorème d'isomorphisme qui dit que, si f:A->B est un morphisme d'anneaux alors A/ker(f) est isomorphe à im(f). Et à la limite, au lieu de chercher un représentant par classe de l'idéal I de A, on peut directement chercher un morphisme simple f tel que I=ker(f) : au niveau de la démarche intellectuelle, ça revient à peu prés au même.

[Aispor]

Merci !

[LB2]

Un document intéressant à ce sujet :
http://vonbuhren.free.fr/Agregation/Doc ... x_poly.pdf

[Aispor]

Je confirme !