Skullkid a écrit:Si tes e_i sont les vecteurs de la base canonique, ils n'ont aucune raison a priori d'être des vecteurs propres de u. Pour l'instant on n'en est pas encore à chercher une démonstration, juste à chercher des liens entre hypothèses et conclusions.
Tu prends donc une b.o.n. quelconque (je n'appelle pas les vecteurs pour éviter la confusion avec la base canonique) et la matrice u dans cette base. Tu voudrais trouver un lien entre les coefficients et des produits scalaires du type (u(x)|y). Les seuls vecteurs que tu as sous la main pour jouer le rôle de x et y c'est les et la base canonique, mais comme les sont directement liés à la matrice U, c'est a priori de leur côté qu'il va falloir fouiller. Regarde donc ce que donne .
Pour ce qui est des valeurs propres, même démarche : commence par introduire une valeur propre de la matrice U. Puisque tu as une valeur propre, tu introduis forcément un vecteur propre associé qu'on va appeler x par exemple. Ensuite tu veux un lien entre un produit scalaire et . Maintenant, les vecteurs que tu as sous la main pour mettre dans tes produits scalaires, c'est les , la base canonique, et x. Mais parmi eux, il n'y a que x qui soit directement lié à . Donc...
Pour ta question sur les matrices orthogonales, non en effet on ne peut pas définir la réciproque d'une application non injective, et de toute façon il y a des matrices de déterminant 1 ou -1 qui ne sont pas orthogonales. Reviens aux définitions : une matrice orthogonale A est définie par , donc une application qui pourrait être intéressante est .
On peut imaginer (je ne me prononcerais pas concernant le fait que ce soit malin ou pas) qu'il a été décidé que la notion d'adjoint, en particulier la preuve de son existence et son unicité, était "trop compliqué" ou "trop éloigné des objectifs du programme".zygomatique a écrit:alors comment peux-tu parler dans ton énoncé de "autoadjoint" ?
Je suis P.R.A.G. et, précisément cette année, je fait que de la licence (L1,L2,L3).zygomatique a écrit:à quel niveau enseignes-tu ?
Ben314 a écrit:Sinon, si tu tient absolument à raisonner en terme de coordonnées et que tu t'obstine à ne vouloir voir une matrice que comme un tableau de nombres, tu peut écrire que le coeff. de la matrice de u dans une b.o.n. B=(e1,e2,...,en) est (par définition) la i-ième coordonnée de u(ej) dans B qui, vu que B est orthonormée, n'est autre que (u(ej)|ei) (Rappel : si B=(e1,e2,...,en) est orthonormée alors, pour tout x de E, x=(x|e1)e1+(x|e2)e2+...+(x|en) vu que le produit scalaire de (x1,x2,...xn) avec (0,...,0,1,0,...0) est xk )
De même donc...
Ben314 a écrit:Bon, déjà pour commencer, c'est pas malin du tout de se placer dans la base cannonique vu que :
- La façon de mener les calculs serait exactement la même dans toute autre b.o.n. de l'espace.
- On te demande de montre que "... sa matrice dans n'importe quelle base orthonormée est..."
Donc tu te place dans une b.o.n. quelconque..
Ben314 a écrit:
Ensuite, plutôt que de te faire c... avec des sommes à rallonges, ça serait pas con d'utiliser les raccourcis adaptés à l'algèbre linéaire, à savoir les matrices et le vecteurs lignes. Par exemple :
- Au lieu d'écrire que
"Si (x1,x2,...,xn) et (y1,y2,...,yn) sont les coordonnées de deux vecteur u et v dans une même b.o.n. alors (u|v)=x1y1+x2y2+...xnyn"
ne serait-il pas plus concis d'écrire que
"Si X et Y sont les vecteurs colonnes des coordonnées de deux vecteur x et y dans une même b.o.n. alors (où on identifie la matrice 1x1 avec le scalaire )"
- De même, au lieu de se taper des sommes de u(e_i) de partout, ne serait il pas plus sage de dire que, si A est la matrice de u dans une base B (quelconque) et X le vecteur colonne des coordonnées du vecteur x dans B alors AX est le vecteur colonne des coordonnées de u(x) dans cette même base B ?
Ben314 a écrit:
Avec tout ça, ça te donnerais comme début :
Si A est la matrice de u dans une base orthonormée alors on a :
est autoadjoint
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 76 invités
Tu pars déja ?
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :