Homomorphisme bijectif

[raito123]

Salut ,

Je viens de commencer un nouveau chapitre ( les structures algébriques ) et là je bloque sur un exo !!

Je dois montrer qu'il n'y a pas d'homomorphisme bijectif de vers

Merci de m'aider ^^

[alavacommejetepousse]

bonjour

un tel morphisme est parfaitement déterminé par a = f(1)


f(r) = a^r

[raito123]

Tu peux expliquer j'ai pas compris

[ThSQ]

Sinon 2 = f(a) = f(a/2+a/2) = f(a/2)^2 pour un a et pb

[raito123]

Sinon 2 = f(a) = f(a/2+a/2) = f(a/2)^2 pour un a et pb

Et cela veut dire quoi exactement !!??

PS: Je commence ce chapitre tout seul (je ne vois pas trop ce que tu veux me dire )

[ThSQ]

Ben si f est un isom entre Q,+ et Q*,* il existe a dans Q tel que f(a) = 2

Alors :

f(a) = f(a/2 + a/2) (clair ;))
= f(a/2) * f(a/2) (bicose morphisme)
= f(a/2)^2
= 2

Et 2 admettrait un racine carrée dans Q.

[alavacommejetepousse]

f(1) = a

p entier positif strict

f(p) = f(1+...+1) = a^p
q entier positif strict
f(1) = f(1/q +....1/q) = f(1/q)^q donc f(1/q) = a^(1/q) puis
f (r) = a^r avec r = p/q >0
et f(-r) = 1/f(r) = 1/a^r = a^(-r)

f(r) = a^r ne saurait être une bijection (regarder de façon précise)

[raito123]

Ok c'est donc comme une procédure par absurde ou on suppose que s'il existe un tel morphisme alors il y aurait une contradiction !!!

ThSQ merci j'ai bien compris ta méthode :++: !!

f (r) = a^r avec r = p/q >0
et f(-r) = 1/f(r) = 1/a^r = a^(-r)

f(r) = a^r ne saurait être une bijection (regarder de façon précise)

Je ne vois pas comment elle ne pourait être une bijection !!

Atta peut-être une disjonction de cas ( a > 1 et a < 1 ) ! c'est ça ??!!


Merci

[ThSQ]

ThSQ merci j'ai bien compris ta méthode :++: !!

Cool :zen:


J'en propose une autre à ta sagacité :

(Q*,*) possède en élément d'ordre 2 (à savoir -1) tandis que dans (Q,+) n'a aucun élément d'ordre fini (sauf 0 mais bon) : donc pas d'isomorphisme possible


Dans le même genre, un exo trouvé dans un rapport d'oraux ENS : (Z,+) et (Z²,+) sont-ils isomorphes ?

[raito123]

(Dsl j'avais un cours d'anglais)

J'avais pas compris ce que ça veut "l'ordre d'un élément" et "element d'ordre fini" et par une petite recherche rapide j'obtiens :

"On appelle ordre d'un élément d'un groupe fini l'ordre (G , * ) l'ordre du sous-groupe engendré dans G par cet élément. "

Tu peux stp m'expliquer !!??

[ThSQ]

C'est aussi (de manière équivalente) le plus petit n > 0 tq x^n = e (si un tel n n'existe pas on parle d'ordre infini).

Si tu veux continuer va falloir investir dans un cours raito !


http://www.les-mathematiques.net/b/c/a/node1.php3

[raito123]

Ok je vais lire le cours ThSQ :lol4:

Dans le même genre, un exo trouvé dans un rapport d'oraux ENS : (Z,+) et (Z²,+) sont-ils isomorphes

ça suffit de dire qu'il n'y a pas d'application bijective ni de ni de pour montrer qu'on a pas d'isomorphismes ?

[ffpower]

Ca suffirait mais c est faux..

[ThSQ]

ça suffit de dire qu'il n'y a pas d'application bijective ni de ni de pour montrer qu'on a pas d'isomorphismes ?

Ca suffirait mais c'est faux
Z² et Z sont en bijection

[ffpower]

..............

[ThSQ]

Les mêmes mots à la même seconde !

[aviateurpilot]

Z et Z² sont bien ont bijection.
en effet: on prend pour et .
on peux ecrire (puisque est fini) .
on prend si pair, et si impair.
est bijective
soit tel que:



et dans ce cas
si et seulement si avec .

est bien bijective.

[raito123]

Aziz j'ai compris la methode avec l'echequier mais là je ne comprend rien :briques: !!!

Quelqu'un connait une application de Z --> Z² ( juste pour info )

[busard_des_roseaux]

[quote="raito123"]Aziz j'ai compris la methode