Hommage à BQss et Imod (défi 40)

par **sandrine_guillerme** » 19 Avr 2007, 15:07

Re,

étant donné le roi des défis soit parti dans la nature, je me permes de redétérré cette idée très intéréssante proposé par BQSs, (dailleurs je lance une enquête pour les deux braves gens ! :lol2: si vous nous lisez faites signe de vie ! Imod je t'ai vu connecté ce matin et donc voilà un défi provocateur !

voici l'énoncé :

Un étudiant se réveille brusquement à la fin du cours et entend le professeur dire : "Votre devoir pour demain consiste à trouver les racines de cette équation, qui sont toutes réelles et positives". Sur le tableau se trouve une équation polynomiale de degré 20. Comme le professeur a déja commencé à l'effacer, l'étudiant à juste le temps de copier les deux premiers termes

et le terme indépendant qui vaut 1. Quelles sont les racines de cette équation ?

Bonne réfléxion

par **Joker62** » 19 Avr 2007, 15:15

C'est 20 racines distinctes ???

par **sandrine_guillerme** » 19 Avr 2007, 15:20

... je ne peux rien dire, il faut une démonstration précise :lol4:

utilises l'indication !

par **serge75** » 19 Avr 2007, 16:50

Des hypothèses, la seule chose que l'on puisse déduire est que le produit des racines est 1, et leur somme est 20. Ca nous fait au moins une réponse triviale : 1 racine de multiplicité 20, l'équation étant donnée par le développement de (x-1)^20 (par identification du coeff dominant).
Je réfléchis plus avant à d'autres possibilités...
Serge

par **serge75** » 19 Avr 2007, 16:54

Il va de soit que si je rajoute l'hypothèse supplémentaire que l'élève est fainéant et fait le pari que les solutions sont entières, c'est alors la seule possibilité (produit des racines=1, donc toutes égales à 1 ou -1, puis à 1 par positivité)
Ceci dit je pense qu'il faut maintenant raisonner sur le fait que si le prof l'a posée, c'est qu'elle se résout cette équation, ce qui constitue de fait une hypothèse en plus.
A réfléchir...

par **sandrine_guillerme** » 19 Avr 2007, 17:35

tu es seur la bonne voie ! c'est tout ce que je peux te dire !

par **allomomo** » 19 Avr 2007, 17:46

Salut,

En igorant les les conditions de l'énoncé, seuls 0 (ordre = 19) et 1 (simple) conviennent.

En respectant l'énoncé : on a aucune solutions dans R.

non ?

par **Ted** » 19 Avr 2007, 17:48

je vais peut etre dire une bétise,
mais j'ai ma petite idée
on a
x1+x2+x3+x4...+x20=20 (1)
et x1*x2...*x20=1 (2)
avec les xi positifs!
si xi et xj uniquement sont différents de 1
par (1) on a xi+xj=2 et xi=2-xj

d'ou par (2) xj(2-xj)=1 c'est à dire que xj est racine de
x^2-2x+1=(x+1)^2 donc xj=1 d'ou la contradiction.

Le probleme c'est que je ne sais pas si on arrive à generaliser pour plusieurs xi differents de 1

par **Imod** » 19 Avr 2007, 18:02

Bonjour à tous .

En notant

les solutions . Comme les

sont des réels positifs on a l'inégalité classique entre les moyennes arithmétiques et géométriques :

avec égalité si et seulement si les

sont tous égaux . Or les deux membres sont égaux à 1 donc les

sont tous égaux .

Imod

par **alben** » 19 Avr 2007, 18:05

Ted a écrit:Le probleme c'est que je ne sais pas si on arrive à generaliser pour plusieurs xi differents de 1

On peut généraliser en utilisant la concavité de la fonction log...
PS encore grillé

par **sandrine_guillerme** » 19 Avr 2007, 18:15

Tout à fait !
Ted et Imod, vous avez à peu prêt la même idée !

alben c'est bien lcette justification qu'il faut rajouter !

par **sandrine_guillerme** » 19 Avr 2007, 18:18

Imod

Le polynôme en question a forcèment une forme .. la quelle ?

Ted en utilisant la convexité on arrive à généraliser le résultat !

par **Ted** » 19 Avr 2007, 18:25

heureusement que quelqu'un me rappelle cette inegalité sinon je passais ma nuit à faire des polynomes de polynomes de polynomes...

par **sandrine_guillerme** » 19 Avr 2007, 18:37

lol ..

Ted,

à toi de poser un nouveau défi .. ouvre un nouveau post nommé défi 41 stp ?

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