Hexagone régulier

[lucie68]

Bonjour à tous :)

Je me demandais comment justifier la validité de la construction d'un hexagone régulier suivante :
on construit un triangle equilatéral.
Soit C son cercle circonscrit.
On trace alors les médiatrice de chacun des cotés du triangle.
Et l'intersection de C avec les médiatrices ajoutés aux sommets du triangle forment l'ensemble des sommets de l'hexagone régulier !

Merci d'avance !

[busard_des_roseaux]

Bj,

le polygone obtenu est un polygone à six côtés de même longueur , inscrit
dans un cercle. les 6 angles au centre sont égaux à cause de l'isométrie
des 6 triangles.

[Zavonen]

Soiient 1, j, j² les racines cubiques de l'unité.
Prenons un repère centré au centre de gravité G du triangle, et tel que le premier vecteur unitaire soit colinéaire à GA.
Alors les affixes complexes des trois points A,B,C sont c,cj, cj². (c réel positif)
Le triangle étant équilatéral on a GA=GB=GC (centre de gravité=centre du cercle circonscit).
Donc GAB est isocèle en G.
Si H est le milieu de AB, (GH) est donc médiatrice, médiane, hauteur et bissectrice de l'angle AGB.
Donc si D est l'intersection de cette droite avec le cercle circonscrit. L'affixe de D est z=cexp(it) où t=arg(j)/2 , etc..

[lucie68]

Ok je vous remercie !
Enfaite un polygone régulier peut être caractérisé par
( je pense )
-égalité des cotés
-égalités des angles , mais pas ceux aux centres, ceux entre deux cotés ...

Enfin, c'est comme ça que je l'avais appris !
Mais la démonstration marche quand même :)
Merci!

[busard_des_roseaux]

re,

de toutes façons, il y a énormément de triangles isométriques
de longueurs connues et avec la loi des cosinus



on obtient de nombreuses égalités d'angles.

[Doraki]

montrer que les longueurs des cotés sont tous égaux n'est pas bien difficile, avec les médiatrices et les symétries.

Et puis comme tout le monde est sur un cercle, tous les triangles avec le centre sont isocèles semblables et on doit pouvoir s'en tirer avec les angles.