Hessien

[lakchamie]

Bonjour, j'ai une petite question en rapport à la matrice Hessienne d'une fonction.
Quand on la trouve directement sans les inconnues (que des chiffres après avoir calculé les dérivées partielles secondes), on n'a pas besoin de définir de point stationnaire pour juger si le Hessien est défini positif/négatif , ou si la fonction est concave/convexe ?
Merci d'avance.

[girdav]

Bonjour,
vous voulez dire "que faire quand la matrice Hessienne ne dépend pas des variable en question?", n'est-ce pas? On sait qu'une condition nécessaire à la présence d'extrema est que les dérivée partielles s'annulent. Il est clair que le fait que la matrice Hessienne soit définie positive ne dépend pas du point en question (mais l'étude ne sert qu'à déterminer la nature des points stationnaire).
Tu as un exemple en particulier, ou c'est dans le cas général que tu te poses la question?

[YLS]

Il est clair que le fait que la matrice Hessienne soit définie positive ne dépend pas du point en question (mais l'étude ne sert qu'à déterminer la nature des points stationnaire).

Si je ne m'abuse, il suffirait que sa hessienne (constante) soit une matrice positive ou négative pour obtenir des extrema locaux en n'importe quel point stationnaire (annulant le gradient). Puisqu'on a pour un tel point , par la formule de Taylor-Lagrange :



avec et le segment inclus dans un voisinage de (à condition qu'on cherche un extrema sur un ouvert).