Hermite et ses polynomes...

[pluie2]

Bonsoir, j'ai essayé de faire cet exercice et j'aimerais avoir une aide pour certaines questions:

Pour tout x réels, on pose f(x)=exp(-x²/2). Pour tout n entier naturel on pose; H_n(x)=(-1)^n*exp(x²/2)f^(n)(x).

1. Montrer que H_n est un polynome de degré n dont on donnera le coefficient dominant.
2. a) Etablir une équation différentielle linéraire d'ordre 1 vérifiée par f.
b) En déduire que l'on a pour tout n, H_(n+2)-XH_(n+1)+(n+1)H_n=0
3. Calculer H_n pour n de [[0,5]]


J'ai essayé de dire que :

1. faut il faire une réccurence ? j'hésite, j'ai d'abord calculé les premiers termes et ai trouvé respectivement pour n=0 n=1 n=2 et n=3 : 1 , 1 ,1, 1 donc je ne vois pas en quoi le degré peut etre égal à n... :hum:

:help: :help:

[jlb]

Vérifie tes calculs!!! (e^u)=u' e^u

pour n =1 H_n(x)=2x

[pluie2]

je vais vérifier mais faut il ensuite prouver les résultats par récurrencee?

[jlb]

je vais vérifier mais faut il ensuite prouver les résultats par récurrencee?

oui avec utilisation de la formule de Leibniz certainement.

[pluie2]

donc pour la propriété, j'écris : pour tout n de N et tout x de R, deg P_n=n et peut etre faire intervenir le coeff dom?
I: pour n=0...ok
H: Soit un n tel que P_n est vraie alors :
H_n(x)=(-1)^n*exp(x²/2)f^(n)(x)
H_(n+1)(x)=-1^(n+1)*exp(x²/2)f^(n+1)(x)

en quoi leibniz est utile ici?

[jlb]

donc pour la propriété, j'écris : pour tout n de N et tout x de R, deg P_n=n et peut etre faire intervenir le coeff dom?
I: pour n=0...ok
H: Soit un n tel que P_n est vraie alors :
H_n(x)=(-1)^n*exp(x²/2)f^(n)(x)
H_(n+1)(x)=-1^(n+1)*exp(x²/2)f^(n+1)(x)

en quoi leibniz est utile ici?

bah f^(n+1)(x)=(f'(x))^(n) et tu utilises la formule de Leibniz pour faire apparaitre des H_i(x)

[pluie2]

H_n(x)=(-1)^n*exp(x²/2)f^(n)(x)
H_(n+1)(x)=-1^(n+1)*exp(x²/2)f^(n+1)(x)
H_(n+1)(x)=-1^(n+1)*exp(x²/2)(f'(x))^(n))
or (f'(x))^(n)) = exp(-x²^n/2)=(0 parmi n)*exp(-0²^n/2)+...+(n parmi n)exp(-x²^n/2)

je ne suis pas convaicue par cette formule je pense que je l'utilise mal

[jlb]

H_n(x)=(-1)^n*exp(x²/2)f^(n)(x)
H_(n+1)(x)=-1^(n+1)*exp(x²/2)f^(n+1)(x)
H_(n+1)(x)=-1^(n+1)*exp(x²/2)(f'(x))^(n))
or (f'(x))^(n)) = exp(-x²^n/2)=(0 parmi n)*exp(-0²^n/2)+...+(n parmi n)exp(-x²^n/2)

je ne suis pas convaicue par cette formule je pense que je l'utilise mal

!!!!!! (n): c'est la derivée n-ième pas la puissance n

[pluie2]

le problème c'est que cette formule s'utilise pour un produit donc ici ça serait :

1*f(x) à la dérivée nieme = 1*1*exp(-x²/2)+...+1*1*exp(x²/2)^0 ?