Help: thm du point-fixe de jan. Brouwer

[busard_des_roseaux]

bonjour,

je dois faire un exposé jeudi sur la démo du thm du point fixe
de Brouwer via le lemme de non-rétraction (il existe de nombreuses
démo de ce théorème). J'ai choisis de travailler la démonstration
proposée par ivan Nourdin

içi

et j'ai les questions suivantes:

a)
au 1er lemme, quand il écrit "f= applique B sur lui-même", f n'est pas nécéssairement surjective ?
je pense que cet adverbe "sur" est une imprécision de langage plutôt que
l'indication "f surjective" ?

b)
à la page (3), quand il écrit:
" le point d'intersection le plus près de x", je ne pense pas que ce soit une définition métrique dont il s'agit, mais simplement le point de la sphère du côté de et non pas du côté de ??

c) dernière page:
Avant de monter la surjectivité de ie, que applique l'intérieur de B sur l'intérieur de B, ne faut-il pas montrer que envoie l'intérieur de B dans l'intérieur de B (ou alors ce dernier point est évident ?)

merçi pour votre aide.

cordialement,

[ThSQ]

J'ai pas tout compris (mais ça me donne envie d'aller voir les projections sur les convexes :)) mais je dirais :
- "sur" veut dire que f(B) est inclus dans B (pas évident a priori comme ça),
- "le plus près de" : c'est vraiment le plus près au sens distance à mon avis (en suivant ou non un "cercle")
- "sur" = dans comme dessus.

[busard_des_roseaux]

merçi beaucoup pour la réponse

- "le plus près de" : c'est vraiment le plus près au sens distance à mon avis (en suivant ou non un "cercle")

Le problème, en retenant cette définition,
l'image de n'est pas définie de manière univoque lorsque x est au centre de la boule.

Concernant les projections sur un fermé convexe K d'un espace de Hilbert H,
on doit montrer que pour , il existe un unique point tel que

[ThSQ]

Tu as raison. Je pense qu'il veut dire que le point Ax de S est tel que f(x), x, Ax sont alignés dans cet ordre. C'est univoque là, non ?

[busard_des_roseaux]

Tu as raison. Je pense qu'il veut dire que le point Ax de S est tel que f(x), x, Ax sont alignés dans cet ordre. C'est univoque là, non ?

oui, je cherchais cette formulation. merçi.