Hauteur sous un cone

[Tophe]

Bonjour,

Voici un petit… problème pour lequel je ne trouve pas la solution…
J’ai un cône quelconque ayant une base circulaire de centre O, de rayon R connu, et d’une hauteur H elle aussi connue. De plus, je connais la distance OT = d.

A partir d’un point A connu de mon cercle, je souhaite connaître la hauteur h entre ce point A et le point B à la verticale, sur le cône.

Quelqu’un aurait-il une solution ?

Merci pour votre aide.

[DamX]

Hello,

Pour trouver une solution "pas trop" sordide, on se place dans le repére suivant : le sommet du cône est en (0,0,0) le plan xy est celui des sections disques. Et le "biais" du cône (comment le cône se décale par rapport à un cône de révolution) est selon l'axe des "x". Bref dans ce repère, l'equation de ton cône est de la forme :

(x-az)^2 + y^2 = kz^2, où k et a sont des constantes à déterminer.

D'après tes indication, en z=H, le rayon du cercle est R,

Donc on a kH^2 = R^2 d'où k = (R/H)^2
et ta distance D correspond d'après Pythagore à :
(aH)^2 + H^2 = D^2 d'où a^2 = (D/H)^2-1.

On a donc une équation de ton cône parfaitement déterminée.

Partant de là si tu prends A(x,y,H) dans le disque pour z=H (attention ce disque est excentré dans ma parametrisation, tu cherches z tel que B(x,y,z) soit sur le cône, c'est a dire vérifie l'equation.

Ainsi tu as une équation de degré deux en z à résoudre. C'est moche mais ça se fait bien.

L'equation c'est donc résoudre (x-az)^2+y^2=(R/H)^2*z^2 en z qui est ta seule inconnue, je te laisse faire, c'est juste du calcul bourrin de trinôme.

Dans le cas simple où tu as un cône de révolution (a=0), tu trouve directement z^2 = (H/R)^2 * (x^2+y^2).

Damien

[chan79]

Bonjour,

Voici un petit… problème pour lequel je ne trouve pas la solution…
J’ai un cône quelconque ayant une base circulaire de centre O, de rayon R connu, et d’une hauteur H elle aussi connue. De plus, je connais la distance OT = d.

A partir d’un point A connu de mon cercle, je souhaite connaître la hauteur h entre ce point A et le point B à la verticale, sur le cône.

Quelqu’un aurait-il une solution ?

Merci pour votre aide.

Salut
Tu dis que le point A est connu. Comment est-il connu ? ( coordonnées polaires ? cartésiennes ? quel repère ? )
La solution de DamX me semble être ce qu'il y a de mieux.
On pourrait penser à Thalès dans le triangle TCD, C étant le point d'intersection de (BT) et du cercle de base et D étant le projeté orthogonal de T sur le plan de base.
C, A et D sont alignés. Evidemment, il y a des calculs à faire dans le plan COD.

[Tophe]

Bonjour Damien,

Merci pour ta réponse rapide et claire.
La digestion est un peu moins rapide...

Une intérogation subsiste :

Tu dis que d'après Pythagore à : (aH)² + H² = D²
Or pour mois, d'après Pythagore, j'ai : (Abcisse de O)² + H² = D²

Pourquoi prends-tu aH, plutot que Abcisse de O ?

Avec mes remerciements.
Christophe

[Tophe]

Salut
Tu dis que le point A est connu. Comment est-il connu ? ( coordonnées polaires ? cartésiennes ? quel repère ? )
La solution de DamX me semble être ce qu'il y a de mieux.
On pourrait penser à Thalès dans le triangle TCD, C étant le point d'intersection de (BT) et du cercle de base et D étant le projeté orthogonal de T sur le plan de base.
C, A et D sont alignés. Evidemment, il y a des calculs à faire dans le plan COD.

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Merci Chan79...
Effectivement, la solution de DamX me plait. J'essaie de la digérer, avant de la programmer...
Merci encore
Tophe

[Tophe]

Hello,

Pour trouver une solution "pas trop" sordide, on se place dans le repére suivant : le sommet du cône est en (0,0,0) le plan xy est celui des sections disques. Et le "biais" du cône (comment le cône se décale par rapport à un cône de révolution) est selon l'axe des "x". Bref dans ce repère, l'equation de ton cône est de la forme :

(x-az)^2 + y^2 = kz^2, où k et a sont des constantes à déterminer.

D'après tes indication, en z=H, le rayon du cercle est R,

Donc on a kH^2 = R^2 d'où k = (R/H)^2
et ta distance D correspond d'après Pythagore à :
(aH)^2 + H^2 = D^2 d'où a^2 = (D/H)^2-1.

On a donc une équation de ton cône parfaitement déterminée.

Partant de là si tu prends A(x,y,H) dans le disque pour z=H (attention ce disque est excentré dans ma parametrisation, tu cherches z tel que B(x,y,z) soit sur le cône, c'est a dire vérifie l'equation.

Ainsi tu as une équation de degré deux en z à résoudre. C'est moche mais ça se fait bien.

L'equation c'est donc résoudre (x-az)^2+y^2=(R/H)^2*z^2 en z qui est ta seule inconnue, je te laisse faire, c'est juste du calcul bourrin de trinôme.

Dans le cas simple où tu as un cône de révolution (a=0), tu trouve directement z^2 = (H/R)^2 * (x^2+y^2).

Damien

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Bonjour Damien,

Merci pour ta réponse rapide et claire.
La digestion est un peu moins rapide...

Une intérogation subsiste :

Tu dis que d'après Pythagore à : (aH)² + H² = D²
Or pour mois, d'après Pythagore, j'ai : (Abcisse de O)² + H² = D²

Pourquoi prends-tu aH, plutot que Abcisse de O ?

Avec mes remerciements.
Christophe

[Tophe]

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Bonjour Damien,

Merci pour ta réponse rapide et claire.
La digestion est un peu moins rapide...

Une intérogation subsiste :

Tu dis que d'après Pythagore à : (aH)² + H² = D²
Or pour mois, d'après Pythagore, j'ai : (Abcisse de O)² + H² = D²

Pourquoi prends-tu aH, plutot que Abcisse de O ?

Avec mes remerciements.
Christophe

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Après modélisation dans EXCEL, tout semble OK, merci DamX :++:
Sauf que le solveur d'EXCEL me donne une hauteur négative, mais je m'en satisferai.

Encore merci...

[DamX]

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Après modélisation dans EXCEL, tout semble OK, merci DamX :++:
Sauf que le solveur d'EXCEL me donne une hauteur négative, mais je m'en satisferai.

Encore merci...

Hello, no problemo !

Il y a deux solutions a ton équation vu que c'est un trinome. Excel en choisit sûrement une des deux. A toi de voir laquelle il te faut et calcule la si besoin.

Pour ta question, oui il s'agit bien de l'abscisse de O dans pythagore. Mais dans mon repère, l'abscisse de O c'est justement aH ! (Dans le plan z=H l'équation du cercle est (x-aH)^2+y^2=kH^2, et le centre du cercle est donc (aH,0))

Damien

[chan79]

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Après modélisation dans EXCEL, tout semble OK, merci DamX :++:
Sauf que le solveur d'EXCEL me donne une hauteur négative, mais je m'en satisferai.

Encore merci...

Bonjour Tophe
Je me suis amusé à aborder ce problème d'une autre façon et j'aimerais bien une confirmation si tu as programmé les calculs (si tu as le temps et si tu veux bien ...)
Qu'est ce que tu trouves pour la distance AB avec H=5, d=13, R=4.
Pour préciser la position de A, j'ai mis la vue de dessus. On a OA=2
[img][IMG]http://img94.imageshack.us/img94/8851/93752642.png[/img]

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[Tophe]

Bonjour Chan79

Avec mes excuses, je n'avais pas vu ta réponse.
Pour répondre à la question, via XLS, je trouve hauteur 3.13
Je procède en lançant 2 fois la valeur cible :
Une fois pour trouver la distance sol entre O et T sachant que l'hypothénuse d = 13
Une seconde fois pour trouver la hauteur du point B.
Je te joins mon fichier XLS.
Cone2.xls
A+

[chan79]

Bonjour Chan79

Avec mes excuses, je n'avais pas vu ta réponse.
Pour répondre à la question, via XLS, je trouve hauteur 3.13
Je procède en lançant 2 fois la valeur cible :
Une fois pour trouver la distance sol entre O et T sachant que l'hypothénuse d = 13
Une seconde fois pour trouver la hauteur du point B.
Je te joins mon fichier XLS.
Cone2.xls
A+

salut
Bizarre, bizarre
j'arrive à 3.9714, ce qui correspond à AB= 1,02859...
Geogebra semble confirmer
Bien-sûr, ce n'est pas un cône de révolution, sinon la section horizontale serait une ellipse ...
???

[Tophe]

J'avais une erreur dans ma feuille EXCEL en cellule d4.
Je viens de corriger la version...

Je viens de découvrir GeoGebra avec mon fils qui est en terminal !
J'ai donc saisie l'équation avec 1 seul inconnu, à savoir z la hauteur.
Résultat : Quand z=0 alors f(z)=4. Mais la résolution de l'équation visait à trouver f(z)=0.
Et comme le montre GeoGebra, la parabole n'est jamais égale à ZERO...
En effet, le discriminent (Delta = b²-4ac) est négatif...
Nous ne serions donc pas dans le cas d'une équation de cône.
A+

[chan79]

J'avais une erreur dans ma feuille EXCEL en cellule d4.
Je viens de corriger la version...

Je viens de découvrir GeoGebra avec mon fils qui est en terminal !
J'ai donc saisie l'équation avec 1 seul inconnu, à savoir z la hauteur.
Résultat : Quand z=0 alors f(z)=4. Mais la résolution de l'équation visait à trouver f(z)=0.
Et comme le montre GeoGebra, la parabole n'est jamais égale à ZERO...
En effet, le discriminent (Delta = b²-4ac) est négatif...
Nous ne serions donc pas dans le cas d'une équation de cône.
A+

Avec H=5, d=13 et R=4, si le point A est confondu avec O, tu dois trouver AB=5/4
ça se calcule avec Thalès

[Tophe]

Merci Chan79
Effectivement, je m'étais trompé dans la saisie des coordonnées de A, que j'avais saisie par rapport à O et non par rapport à T...
Je retrouve bien AB = 3.75
A+

[chan79]

Merci Chan79
Effectivement, je m'étais trompé dans la saisie des coordonnées de A, que j'avais saisie par rapport à O et non par rapport à T...
Je retrouve bien AB = 3.75
A+

OK et pour ce cas ?
[img][IMG][IMG]http://img94.imageshack.us/img94/8851/93752642.png[/img]

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[Tophe]

Mon fichier XLS me donne une hauteur de 3.97... Ce qui semble tout à fait cohérent...

[chan79]

Mon fichier XLS me donne une hauteur de 3.97... Ce qui semble tout à fait cohérent...

C'est bon !
Pour ma part, j'avais pris comme origine du repère le centre O du cercle