Grp quotient et formule des classes

[simplet]

Bonjour,
je m'embrouille un peu avec les groupes quotients...

Soit G un groupe fini, S un p-Sylow de G, et Sp(G) l'ensemble des p-Sylow de G.

1ère question: Est-ce que card(G/S)=card(Sp(G)) ??

J'ai failli dire "pour moi oui puisque card(G/S) est égale au nombre de sous-groupes de même cardinal que S" ... mais en fait les éléments de G/S ne sont pas des sous-groupes... mais ce sont tout de même des "ensembles" (on peut faire plus précis?) ayant le même cardinal que S !! Y a t il un lien quelque part par hasard??

2ème question Soit H un sous-groupe de G, un p-groupe. En faisant opérer G sur un ensemble X on a par la formule des classes:
card(X)=card( fixe-par-G)[mod p]... mais en faisant opérer H on a également
card(X)=card(fixe-par-H)[mod p]...
est-ce bon?? Ca veut dire que quelque soit le sous-groupe H de G on a toujours card(fixe-par-G)=card(fixe-par-H)[mod p] ???

mercii

[abcd22]

Bonjour,

Soit G un groupe fini, S un p-Sylow de G, et Sp(G) l'ensemble des p-Sylow de G.

1ère question: Est-ce que card(G/S)=card(Sp(G)) ??

J'ai failli dire "pour moi oui puisque card(G/S) est égale au nombre de sous-groupes de même cardinal que S" ... mais en fait les éléments de G/S ne sont pas des sous-groupes... mais ce sont tout de même des "ensembles" (on peut faire plus précis?) ayant le même cardinal que S !! Y a t il un lien quelque part par hasard??

Tous les p-Sylow de G sont conjugués dans G, on a donc , à quelle condition sur g et g' a-t-on ?

2ème question Ca veut dire que quelque soit le sous-groupe H de G on a toujours card(fixe-par-G)=card(fixe-par-H)[mod p] ???

Oui c'est bon.

[abcd22]

Euh j'ai parlé trop vite, en fait une condition suffisante pour avoir est que g et g' soient dans la même classe à gauche modulo S, mais ce n'est pas nécessaire, on ne peut pas calculer le cardinal de Sp(G) si facilement.
Pour la question 1 la réponse est non : cherche un exemple de groupe n'étant pas un p-groupe qui n'a qu'un seul p-Sylow.

[simplet]

merci beaucoup, c'est exactement ce que j'étais venu chercher!