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par **minidiane** » 14 Déc 2006, 12:22

Bonjour je n'arrive pas à résoudre cet exercice pouvez-vous m'aider?
Merci.

Soit D4 le groupe diédral des symétries du carré.

1. Soit H le sous groupe de D4 engendré par la rotation pi/2. Montrer que H est un sous-groupe d'ordre 4 contenant toutes les rotations. Donner sa table.

2. D'écrire toutes les classes de D4/H. Est-ce que H est distingué? Est-ce que D/H est un groupe quotient?

Je pense que H={Id, r1(pi/), r2(pi), r3(3pi/2)}
Mais je n'arrive pas à le montrer.

par **fahr451** » 14 Déc 2006, 12:42

le sous groupe engendré par un élément a est l'ensemble des puissances de a
gr(a) = {a^n ; n dans Z}
il y a deux cas
soit on ne retombe pas sur le neutre (sauf pour n=0 ) le sous groupe est infini .
soit on retombe sur le neutre (id ici) et en appelant m la plus petite puissance positive strictement qui donne id on a gr(a) = {a^n ,0=ici m = 4

par **minidiane** » 14 Déc 2006, 12:47

D'accord je crois que j'ai compris. Merci.
on part de l'id puis encuite lorsque l'on fait la rotation d'angle pi/2 on obtient r1(pi/2) on recommence la rotation et on tombe sur r2(pi) et de même on trouve r3(2pi/3) et enfin on retombe sur l'identité donc le sous-goupe est d'odre4.
Par contre pour montrer que c'est un sous-groupe j'ai du mal.
Bon l'id appartient à H donc déjà il n'est pas vide.
Ensuite pour montre que tout élément admet un symétrique je pense que l'on peut utiliser sa table et dire que l'id est dabs chacune des lignes?
Mais pour montrer la stabilité je ne sais pas trop comment faire.

par **fahr451** » 14 Déc 2006, 12:54

faire la table prouve exactement qu 'on a un groupe (modulo l associativité qui est celle de la composition tjrs vraie)

ds ta table tu as tjrs l 'un des 4 élements id,r,r^2,r^3 ce qui prouve que la loi est interne
ds ta table tu as ds n 'importe quelle colonne id ce qui prouve que tt élément a un symétrique à gauche (disons) (celui qui est ds la ligne "qui va bien") et en regardant ds l'autre sens tu vérifies que ce symétrique à gauche l'est aussi à droite (ici c 'est sans objet car la loi (restreinte) est commutative ds gr(a)
ds ta table ds la ligne et colonne relative à id tu vérifies que id est neutre ( au cas où tu ne le savais pas)

par **minidiane** » 14 Déc 2006, 13:01

Donc il suffit de faire la table et il n'y a pas besoin de montrer que c'est stable?
Pour les classes je ne sais pas trop comment faire.
Je penses qu'il n'y en a que 2.
H en est une et l'autre c'est ce qui reste. C'est-à-dire les symétries.
Est-ce que c'est sa?

par **fahr451** » 14 Déc 2006, 13:07

faire et lire la table prouve la stabilité .
ici cette stabilité est évidente la composée de rotation est une rotation et H est exactement l'ensemble des rotations
oui 2 classes
d'une façon générale ds un groupe fini G; H un sous groupe
card G = card H x card G/H ; avec G/H l'ensemble des classes (à gauche)

par **minidiane** » 14 Déc 2006, 13:14

D'accord merci.
Comment je dois montrer que H est distingué?
Et que D/H est un groupe quotient?

par **fahr451** » 14 Déc 2006, 13:18

c est un résultat général s'il n y a que deux classes le sous groupe est distingué
pour le voir ici tu dois montrer que les classes à gauche sont les classes à droite or
classes à gauche ; celle de id = H
et celle de s (une symétrie qq) = l ensemble des symétries
classes à droite idem.
qd ( c est une équivalence)le sous groupe est distingué on peut définir la loi quotient (car indépendance vis à vis du choix du représentant) qui fait de G/H un groupe
bonne chance

par **minidiane** » 14 Déc 2006, 13:23

D'accord merci beaucoup de m'avoir aider je pense que c'est bon maintenant, je pense avoir compris.
Merci de m'avoir consacr autant de temps.
Bonne journée.

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