Groupes Symétriques

[Lostounet]

Bonjour,

On note et

Je dois montrer que mais je ne comprends pas très bien...

[Doraki]

Tu ne comprends pas quoi ? ;) ? t ? Sn ? (;),t) ?

[Lostounet]

Il faut que je montre que Sn est engendré par le cycle (1,2,...n) et t = (1,2) c'est ça?

[Doraki]

Oui tu dois montrer que pour tout n, le sous-groupe de (Sn,°) engendré par le cycle (1,2,...,n) et la transposition (1,2) est Sn tout entier.

Donc tu dois montrer que n'importe quelle permutation de {1...n} est une composition (finie) de ;)s et de ts.

Si par ailleurs tu connais une partie A de Sn telle que A engendre Sn (donc que tout élément de Sn s'écrive comme composition d'éléments de A), il est suffisant de montrer que chaque élément de A s'écrit comme composition d'éléments de ;) et t, ce qui te fait moins de travail.

[Lostounet]

D'accord, je vais regarder ça ! merci

[jlb]

(1,2,..,n)(1,2)(n,n-1,...2,1) =(2,3) et calcule à nouveau (1,2,....n)(2,3)(n,n-1,...2,1) et ainsi de suite ( remarque, c'est un cas particuliers du résultat s(a,b,...)s^(-1)=(s(a),s(b),....))

après considère (1,2)(2,3)(1,2) et à partir des résultats précédents, fais apparaître toutes les transpositions (1,i) ,i=2,...n

Il suffit alors de remarquer que (k,l)=(1,k)(1,l)(1,k) et que les transpositions engendrent Sn

[jlb]

salut, un truc rappelé dans un post précédent sur ce thème et qui risque de te servir:

s(a,b,c,..)s^(-1) = (s(a),s(b),...) soit quant tu conjugues un cycle par une permutation s cela te donne le cycle des images.

sinon (i,j)=(1,i)(1,j)(1,i) donc l'objectif est d'obtenir les transpositions (1,k) k=2,...n à partir des deux permutations données au départ.