Groupes monogènes et nombres irrationnels

[FAN FAN]

Je considère le groupe G des rotations sur le cercle unité muni d'une origine.
Soit G_a le sous-groupe de G engendré par la rotation d'angle 2pi/a, a irrationnel. L'ordre de ce sous-groupe est infini mais dénombrable, donc tous les points du cercle ne sont pas atteints puisque cet ensemble n'est pas dénombrable. C'est donc un sous groupe strict.
Questions :
- L'ensemble des points du cercle représentatif des éléments de ce sous-groupe G_a a-t-il des particularités (qui peuvent dépendre du choix de l'irrationnel a), par exemple peut-il avoir des points d'accumulation ou la répartition est-elle toujours uniforme ? Est-il dense dans le cercle ?
- Cet ensemble a-t-il des particularités différentes (par exemple pour les points d'accumulation éventuels) si a est irrationnel algébrique ou irrationnel transcendant ?
- On peut représenter pour n entier une partie de G_a en marquant les points du cercle appartenant à {exp(ik2pi/a), k =1,...,n} et en représentant en coordonnées polaires la densité de points obtenus. On obtiendra un cercle seulement si cette densité est uniforme sinon une autre courbe. Que devient cette courbe pour n entier tendant vers l'infini ?
Il me semble que la question sous jacente à ce problème est l'approximation d'un irrationnel par un rationnel.

[nekros]

Bonjour, merci ?

:happy3:

A+

[kazeriahm]

je sais pas si ca a un rapport direct, et j'ai pas le bagage nécessaiire pour t'aider FAN FAN mais je crois savoir que les suite u:n-> cos(n*a) et v:n->sin(n*a) ont pour valeurs d'adhérence [-1,1] entier (l'intervalle) si a/Pi est irrationel (mon prof de cette année m'avait filé un démonstration de ce truc que je n'ai plus).