Groupes et loi (Algèbre linéaire)

[Kugge]

Bonjour,
Soit (G, *) un groupe quelconque et "e" son élément neutre. Supposons que pour tout g dans G, g² = g*g = e.
Soit x et y appartenant a G.

Il faut que je calcule (x*y)^(-1),
Que je montre que x = x^-1
Et que, finalement, je dois en deduire que (G, *) est commutatif.

Ca fait plusieurs jours que je n'arrive pas a aborder une rédaction correcte face a ces questions, ni meme un raisonnement rationnel. Pouvez-vous me mettre sur la piste ?

[capitaine nuggets]

Salut !

1. En considérant , montre que .
2. Que se passe-t-il pour ?
3. De façon générale donc à l'aide de la question précédente, déduis-en que .

[Kugge]

Salut !

1. En considérant , montre que .
2. Que se passe-t-il pour ?
3. De façon générale donc à l'aide de la question précédente, déduis-en que .

Merci pour votre réponse rapide !
Cependant, est-il possible de calculer xy^-1 sans pour autant avoir connaissance que x² = e ?

[LB2]

En général, dans un groupe, (xy)^(-1) = (y)^(-1) * (x)^(-1)

Sans savoir que tout élément est son propre inverse, on ne peut pas continuer ce raisonnement.

Pour prolonger ton exercice, avec une difficulté croissante, tu as :

- même question si on suppose (ab)^2 = a^2 b^2 pour tous éléments a,b
- même question si on suppose (ab)^3 = a^3 b^3 pour tous éléments a,b, et G n'admet aucun élément d'ordre 3 (c'est à dire x^3 = e => x = e)