Groupes, lci, neutre, etc

[twist2264]

Bonjour,

Je suis en révision pour mes rattrapages (1S mal réussi...) et une question me pose problème:

Soit f un morphisme du groupe (G,*) dans le groupe (G,.). e neutre du premier groupe et e' du 2eme.
Montrer que f(e)=e'

Donc j'ai fait f(e)=f(e*e)=f(e).f(e) (def. d'un morphisme).

Mais ensuite la correction dit qu'il faut multiplier par l'inverse de f(e) pour obtenir f(e)=e'.

J'aimerai savoir pourquoi, merci!

[lionel52]

bah là c'est comme si tu avais à résoudre l'équation x = x² sur R* (qui est un groupe multiplicatif)
en gros en divisant par x ça donne 1 = x

[anonyme111]

le neutre des deux groupes est identique ( 1 )

Tu as fait le gros du problème, j'espère que tu comprendras pourquoi.

[twist2264]

D'accord, justement le truc c'est que je sais jamais si le neutre c'est 1, parce que pour moi la loi . pourrait très bien être l'addition et donc à ce moment là le neutre serait 0. Pourquoi est-ce que ce n'est pas possible que ce soit l'addition?

[Pianoo]

D'accord, justement le truc c'est que je sais jamais si le neutre c'est 1, parce que pour moi la loi . pourrait très bien être l'addition et donc à ce moment là le neutre serait 0. Pourquoi est-ce que ce n'est pas possible que ce soit l'addition?

En fait tu dois vraiment considérer que les lois * et "." sont des lois particulières avec des neutres e et e' particuliers. Et tu raisonnes uniquement avec ça.

En faisant ça tu écris les choses de la façon la plus générale possible, ce sera donc vrai avec une loi + et le neutre 0, et après tu peux écrire ta démo avec + et 0 (tu as juste à remplacer les neutres, remplacer les lois), ça donne :

Si


ensuite on additionne de chaque côté le terme - ça donne ;


Tu peux écrire la même chose (en adaptant) pour le morphisme ,
ou bien pour le morphisme : etc ...
ce sont juste des cas particuliers de ton exercice qui est plus général.

[twist2264]

Très bien, merci beaucoup pour ces explications :)