Groupes commutatifs d'ordre p^n

par **yos** » 08 Jan 2009, 21:29

Combien y-en-a-t-il?
Je sais le faire mais je souhaitais en faire profiter ceux qui ne connaissent pas.

par **Nightmare** » 08 Jan 2009, 21:39

Re :happy3:

Je suppose qu'on les compte à isomorphisme près. Intéressant en tout cas, je ne me suis jamais posé la question ! Je vais essayer de chercher du côté de Sylow.

par **Nightmare** » 08 Jan 2009, 22:01

Je blanque pour laisser chercher :

Bon en fait, pas besoin d'aller chercher les Sylow. On décompose le groupe en somme directe de groupes cycliques Z/kiZ. Le produit des ki est égal à l'ordre du groupe. Aussi, à un isomorphisme près, se donner un groupe d'ordre p^n, c'est se donner des ki dont le produit vaut p^n, cela revient donc à trouver le nombre d'entiers dont la somme est n. Par contre je ne sais pas comment exprimer ce nombre facilement.

par **ThSQ** » 08 Jan 2009, 22:14

C'est le nombre de partitions (décomposition des groupes abéliens). Il y a plein de formules magiques là-dessus mais pas de formule explicite non ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Partition_d%27un_entier

par **Nightmare** » 08 Jan 2009, 22:15

Heureusement que tu es intervenu ThSQ, là j'étais parti pour essayer d'exprimer ce nombre... Tu as sauvé ma nuit de sommeil :lol3:

par **ThSQ** » 08 Jan 2009, 22:24

Vas savoir peut-être que tu vas trouver LA formule pour exprimer le nombre de partitions :king2:

par **SimonB** » 08 Jan 2009, 22:24

Ben si, d'après wiki,

!

Bon, je vous avoue que bien que ce soit explicite, c'est peu clair

par **Nightmare** » 08 Jan 2009, 22:25

Oula, avec cette formule, je préfère encore les dénombrer à la main :lol:

par **ThSQ** » 08 Jan 2009, 22:25

Ouais y'a plein de formules comme celles-là, toutes aussi simples et pratiques :marteau:

par **yos** » 08 Jan 2009, 23:43

Nightmare a écrit:Je suppose qu'on les compte à isomorphisme près.

Ouais c'est mieux. J'ai déjà essayé de compter tous les groupes de Klein : ça n'en finit pas.
Pas de formule explicite pour le nombre

de partitions d'un entiers (sauf l'autre là que je connaissais pas), mais il y a au moins une relation de récurrence, et puis c'est déjà ça de relier le nombre de groupes d'ordre

au nombre de partitions de n. Le fait que ça dépende pas de p est pas si mal.
Ayant calculé les cinq premiers termes (1,1,2,3,5), j'ai cru un court instant à Fibonacci...

par **Nightmare** » 08 Jan 2009, 23:48

Moi j'ai failli croire à la suite des nombres premiers avec les 6 premiers termes :lol3:

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