Groupes,anneau et coprs

[wilfred1995]

bonsoir besoin d'aide
Répondre par Vrai ou Faux pour chacune des assertions suivantes
Soient le groupe symétrique et son sous groupe alterné.
Soient A un anneau, B un sous-anneau de A et I un idéal de A.
Soient G un groupe et H son sous-groupe.

1) Si H est un sous-groupe de G, alors G /H est un groupe quotient. V
2) A/I est un anneau quotient si et seulement si I est un ideal de A. V
3) G/H est un groupe quotient si et seulement si H est un sous-groupe distingué de G. V
4) L'ordre de tout sous -groupe d'un groupe fini divise l'ordre de ce groupe. V
5) Un groupe cyclique est commutatif. V
6) I est maximal ssi A/I est un anneau intègre. V
7) A/B est un anneau quotient. F
8) L'ordre d'un sous - groupe fini d'un groupe est un multiple l'ordre de ce groupe. V
9) Tout groupe fini est commutatif. V
10) V
11) V
12) (2=4) V

merci d'avance

[Aispor]

Je valide 1,6, 8 et 11 ^^ 10 c'est factoriel de n

[tournesol]

Je valide 2 , 3 , 4 , 5 , 11 , et 12 .
j'infirme 1 , 7 , 8 , 9 , 10 .
je ne sais pas pour 6 .

[capitaine nuggets]

- Pour 1, je confirme que c'est faux. A ma connaissance, on ne peut parler du quotient de G par H que si et seulement si H est distingué dans G, ce qui n'est à priori pas le cas ici. (Edit : d'où la question 3).

- L'affirmation 4, c'est le théorème de Lagrange.

- La 5 est vraie.

- Pour 6, je ne pense pas que ce soit vrai. Je sais qu'on a :

i) est premier si et seulement si est intègre (penser au cas où et , avec premier).

ii) est maximal si et seulement si est un corps.

- Pour la 7, je ne sais plus pourquoi mais il me semble qu'on ne peut pas faire de quotient entre anneau et un sous-anneau. C'est pourquoi on considère les idéaux. D'où la question 3.

- 9 est clairement fausse ! Considère par exemple le groupe symétrique. En général, deux permutations ne commutent pas.

- Le 10 est un classique . Soit une permutation de .
appartient à donc il y a façons de choisir
appartient à donc il y a façons de choisir
appartient à donc il y a façons de choisir
etc...
Au final, il y a façons de choisir .

- Pour le 11, le morphisme "signature" a pour noyau le groupe alterné et son image est évidemment donc d'après le premier théorème d'isomorphisme, le quotient est isomorphe à . Donc , d'où .

- Le 12, c'est juste de la théorie des ensembles : peu importe que soit vraie ou fausse, si est fausse alors l'implication est toujours vraie.