Groupes abéliens

[Imod]

Au fait Imod,ta dit qu il y avait plusieurs demo pour 1).Est ce que la mienne en faisait partie?Et est ce que tu peux en donner une autre,pour voir une autre maniere d aborder le truc?

Ma démo n'est pas très loin de la tienne sauf que je n'étais pas passé par les quotients pour montrer que les commutateurs étaient tous égaux au neutre .
Une autre méthode pour la question initiale avec les carrés et les cubes . Pour montrer que G est commutatif il suffit de montrer que les cubes et les carrés commutent .
Considérons le commutateur . Comme le conjugué d'un carré est un carré et le conjugué d'un cube un cube :
On multiplie à gauche chaque membre par et on simplifie :

On multiplie à droite chaque membre par et on simplifie :

Et c'est fini :we:

Imod

[ffpower]

ah ouai,pas mal,y avait donc bien une solution "bidouille"^^

[ffpower]

A pres quelques magouilles,je crois avoir obtenu la condition suffisante suivante:
Si x->x^a et x->x^b sont des morphismes avec a(a-1)/2 et b(b-1)/2 premiers entre eux,alors G est abelien

[Imod]

La condition est bien suffisante ( a et b supérieur à 2 ) , elle est aussi nécessaire mais je n'ai pas de démonstration élémentaire .

Imod

[yos]

La condition est bien suffisante ( a et b supérieur à 2 ) , elle est aussi nécessaire mais je n'ai pas de démonstration élémentaire .

Salut.
Qu'appelle-tu nécessaire ici?
Si G abélien alors et et a(a-1)/2, premier avec b(b-1)/2 ??
J'en doute.

[ffpower]

On regarde la propriété P(a,b):tout groupe ou x->x^a et x^b sont des morphismes est abelien
P(a,b) est vraie si et seulement si a(a-1)/2 et b(b-1)/2 sont premiers entre eux..

Par contre,je m amuserai pas a chercher des contre exemples lol

[yos]

On regarde la propriété P(a,b):tout groupe ou x->x^a et x^b sont des morphismes est abelien

Ah OK. J'avais mal compris.

[Imod]

Pour ceux qui seraient intéressés par une approche originale de l'exercice et une solution complète avec exemple de groupe non commutatifs pour les mauvaises valeurs de a et b : Exo Oumpapah

Un joli travail de Patrick Fradin .

Imod

EDIT : lien corrigé , ouvrir ExoOump4.pdf :zen:

[ffpower]

Je vais qd meme aussi mettre ma preuve(pour la suffisance-j ai d ailleurs apparament bien fait de pas chercher la necesserité,les groupes de matrices sur Fp,c est pas mon truc lol)

Je suppose donc x->x^a et x->x^b sont des morphismes,avec a(a-1)/2 premier avec b(b-1)/2

Soit x,y dans G.On a
mais,comme x->x^a est un morphisme, on a aussi et donc ,donc
On a donc que les puissance a-iemes commutent avec les puissances (a-1)-iemes
En particulier, commute avec et donc avec y. est donc dans le centre de G.Mais tout ceci est aussi vrai avec b a la place de a,donc on a aussi que est dans le centre de G.Comme le pgcd de a(a-1) et b(b-1) vaut 2,on en déduit que est dans le centre.Or les commutateurs de G sont dans le groupe H engendré par les carrés(classique:ca vient du fait que G/H est abelien car u^2=e pour tout u de G/H),donc les commutateurs sont dans le centre.

Maintenant,si on note z le commutateur de x et y,en utilisant a repetition la relation xy=yxz on a pour tout k,

Comme et ,on en deduit et ,donc z=e,G est commutatif..

Ma demo va donc un peu plus "droit au but" que la votre,mais votre theorie des zinzins de l espace(euh de groupe) a l air bien tripante^^

Sinon,du coup,reste plus qu a généraliser 2)..

[Imod]

Oui , en effet c'est plus rapide . Je ne sais pas s'il y a une généralisation intéressante du 2 !!!

Imod

[ffpower]

Bon alors voila mes reflexions du jour :we:
D abord la généralisation du 2)
2')si x->x^a est un morphisme,et si x->x^(a(a-1)/2) est injectif ou surjectif,alors G est abelien

J ai un semblant de preuve,mais a vérifier..Ensuite,je propose des nouveaux points:
4)si les x^a commutent,et si x->x^a est injectif,alors G est abelien
Pas tres dur celui la,faut juste bien partir(et c est aussi vrai avec surjectif a la place de injectif,mais bon,voila quoi :ptdr: )

et enfin un mix du 1) et du 3)
5)si x->x^a est un morphisme,et si les x^b commutent,avec a(a-1)/2 et b premiers entre eux,alors G est abelien.
Je n ai pas encore réussi celui la,mais j ai espoir que c est vrai.

Voila pour le moment les nouveaux défis lol.En tout cas merci pour ces exos imod,je m amuse bien a bidouiller des relations sur des dizaines de feuilles.Je trouve que ca détend^^(suis je normal doc mdr)

[ffpower]

5) est faux en faux en fait je crois,faut a(a-1) premier avec b,et du coup c est une conséquence presque directe de 1..Bon du coup j ai plus de questions sur lesquelles réfléchir la snif..D autres idées de conjectures?(du type "si G..alors G est abelien")

[Imod]

Je n'ai pas eu trop le temps d'étudier tout ça cette semaine épouvantablement chargée ( et la prochaine sera pire ) j'essaie de trouver un moment ce week-end :zen:

Mais tu as déjà bien dégagé le terrain :arme:

Imod