Groupe

par **titi0072** » 01 Oct 2006, 17:57

Bonjours,

1)Il faut montrer que Q* est un groupe commutatif avec la loi de groupe la multiplication et le nombre 1 comme élément neutre.
2)Est-ce que Q+ :={x appartenant Q | x>0} est un groupe avec la loi de groupe la multiplication?
3)Même question pour Q- := {x appartenant Q | x<0}.

La 1ère question j'arrive je pense mais j'ai dû mal pour la question 2 et 3!

Merci d'avance!

par **Quidam** » 01 Oct 2006, 18:01

titi0072 a écrit:Bonjours,

1)Il faut montrer que Q* est un groupe commutatif avec la loi de groupe la multiplication et le nombre 1 comme élément neutre.
2)Est-ce que Q+ :={x appartenant Q | x>0} est un groupe avec la loi de groupe la multiplication?
3)Même question pour Q- := {x appartenant Q | x<0}.

La 1ère question j'arrive je pense mais j'ai dû mal pour la question 2 et 3!

Merci d'avance!

Trois choses à vérifier pour qu'un ensemble soit un groupe !
Loi interne associative
présence d'un élément neutre
présence d'un inverse pour tout élément

Facile : Q+ est donc un groupe
Pour Q- tu devrais trouver facilement la réponse !

par **titi0072** » 01 Oct 2006, 18:09

merci mais est ce que Q* c'est la même chose que (Q,+,*)?et Q+ c'st (Q,+)?
Q- n'est donc pas un groupe commutatif à cause de l'élément neutre 1, est ce juste?

par **tize** » 01 Oct 2006, 18:20

merci mais est ce que Q* c'est la même chose que (Q,+,*)?

Q* c'est l'ensemble des rationnels non nul, si on ne précise pas la loi ( + ou x), c'est rien d'autre qu'un ensemble...mais parfois quand on parle d'un groupe on dit juste Q* pour parler du groupe (Q*,x), il n'y a pas de confusion car avec + ça n'est pas un groupe...

et Q+ c'st (Q,+)?

Q+ normalement ce sont les rationnels positifs et (Q,+) tous les rationnels muni de la loi d'addition...

Q- n'est donc pas un groupe commutatif à cause de l'élément neutre 1, est ce juste?

Oui par exemple. On peut aussi dire que le produit de 2 négatifs est positif et donc que la loi n'est pas interne dans Q-...

par **titi0072** » 01 Oct 2006, 19:32

Si Q+ est un groupe commutatif alors :
associative: pour tout a,b, c appartenant à Q+, (a*b)*c=a*(b*c)
possede un élément neutre qui est 1
possede un inverse qui est 1/a
c'est ainsi qu'il faut montrer?

par **Quidam** » 02 Oct 2006, 00:38

Il faut savoir ce que tu veux ! La première question demande de montrer que Q* est un groupe commutatif : il faut donc montrer que c'est un groupe et que sa loi est commutative.

La deuxième question demande de dire si Q+, et Q- sont des groupes ! Il n'est nullement question de commutativité. Un groupe, c'est un groupe. Un groupe commutatif c'est un groupe commutatif : il ne faut pas employer indifféremment un terme pour l'autre : ce sont deux choses différentes !

De plus tu prend les choses à l'envers : si tu écris
[INDENT]"Si Q+ est un groupe commutatif alors :
associative: pour tout a,b, c appartenant à Q+, (a*b)*c=a*(b*c)
possede un élément neutre qui est 1
possede un inverse qui est 1/a"[/INDENT]

Tu es en train d'énoncer des conditions nécessaires pour qu'un ensemble soit un groupe. Ce n'est pas avec des conditions nécessaires qu'on démontre quelque chose. C'est dans l'autre sens : Pour montrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe il suffit de montrer que la loi est interne et associative, qu'elle possède un élément neutre et que tout élément a un inverse.

En outre, une fois de plus tu parles de groupe commutatif et tu n'évoques pas la commutativité de la loi !

Enfin, pour montrer que Q- n'est pas un groupe, il est absurde de parler d'élément neutre avant d'avoir vérifié que la loi était bien une loi interne ! Comme le souligne très justement tize il faut d'abord vérifier que la loi est interne : et justement, elle n'est même pas interne !
La constatation que Q- ne possède pas d'élément neutre ne vient qu'après la vérification que la loi est bien interne. Si la loi n'est pas interne, la recherche d'un éventuel élément neutre est sans intérêt !

par **titi0072** » 02 Oct 2006, 08:48

donc Q+ est groupe ok dans cce cas si ce que j'ai dit avant c'est pas exacte je vois pas comment faire pour justifier?
dire que le produit de deux nombres positifs est toujours positif et donc c'est une loi interne dans Q+..c'est coorect

par **Quidam** » 02 Oct 2006, 10:57

titi0072 a écrit:donc Q+ est groupe ok dans cce cas si ce que j'ai dit avant c'est pas exacte je vois pas comment faire pour justifier?
dire que le produit de deux nombres positifs est toujours positif et donc c'est une loi interne dans Q+..c'est coorect

Je constate que tu n'as pas compris le sens de mon intervention. J'avoue que celle-ci n'était peut-être pas bien "emballée", alors je re-formule.

D'un côté tu parles de groupes, de l'autre tu évoques une loi interne associative, un élément neutre, et un inverse pour chaque élément. Et j'ai l'impression que tu crois que je ne suis pas d'accord. Eh bien si je suis d'accord ! Ce que je critique, c'est la façon de présenter les choses.

Tu as dit :
[INDENT]"Si Q+ est un groupe commutatif alors :
associative: pour tout a,b, c appartenant à Q+, (a*b)*c=a*(b*c)
possede un élément neutre qui est 1
possede un inverse qui est 1/a"[/INDENT]

Et c'est correct ! Mais cela ne démontre pas que Q+ est un groupe ! Ca démontre au contraire que
si (Q+,x) est un groupe
alors la loi x est une loi associative, un élément neutre et que tout élément de ce groupe a un inverse.

Mais comme justement, tu cherches à démontrer que Q+ est un groupe, cette phrase ne sert à rien !

Il se trouve que c'est justement la définition d'un groupe :
[INDENT]Un ensemble muni d'une loi interne associative x, qui possède un élément neutre, et tel que chacun de ses éléments a un inverse est un groupe.[/INDENT]
Si un ensemble muni d'une loi a ces propriétés, c'est un groupe.
S'il n'a pas ces propriétés, ce n'est pas un groupe.

Il en résulte qu'il y a équivalence entre la liste de ces propriétés et le nom "groupe";

Si tu sais qu'un ensemble est un groupe, tu peux en déduire qu'il a ces propriétés.
Si tu sais qu'un ensemble a ces propriétés, tu peux en déduire que c'est un groupe.

Par conséquent, pour démontrer qu'un ensemble est un groupe, il ne faut pas dire "si c'est un groupe alors..." mais au contraire "si l'ensemble a telle et telle propriétés, alors c'est un groupe".

Donc, le raisonnement correct est :

[INDENT]"Je démontre que la loi * est une loi interne pour Q+ (suit : la démonstration...). Je démontre que Q+ possède un élément neutre (suit : la démonstration...). Je démontre que tout élément a un inverse (suit : la démonstration...). Alors, j'affirme que Q+ est un groupe !
De plus, je démontre que la loi * est commutative (suit : la démonstration...) et je conclus "Q+ est un groupe commutatif"
[/INDENT]

Tout cela n'est qu'une question de langage, de logique. Au niveau où tu es, ce qui peux te sembler trop tatillon est en fait d'une extrême importance. Les subtilités de langage auxquelles on n'accordait que peu d'importance avant le bac, deviennent essentielles dans les études supérieures.

titi0072 a écrit:dire que le produit de deux nombres positifs est toujours positif et donc c'est une loi interne dans Q+..c'est coorect

Oui, correct ! Enfin presque ! Je dirais plus précisément "le produit des deux rationnels positifs est un rationnel positif, donc * est une loi interne de Q+"

Et dans la démonstration que Q- n'est pas un groupe il faut dire : "le produit de deux éléments de Q- n'appartient pas à Q-. Donc * n'est pas une loi interne, donc Q- n'est pas un groupe pour * !", c'est tout !

par **tize** » 02 Oct 2006, 11:45

Un grand bravo pour le courageux Quidam pour avoir écrit tout ça... :+++:
(je dois avouer que j'ai pas eu le courage de lire jusqu'au bout...)

par **Quidam** » 02 Oct 2006, 13:06

tize a écrit:Un grand bravo pour le courageux Quidam pour avoir écrit tout ça... :+++:
(je dois avouer que j'ai pas eu le courage de lire jusqu'au bout...)

Pas grave ! Ce n'est pas à toi que c'était destiné. Je détecte une pointe d'ironie dans ton "grand bravo" ! Me trompai-je ?

J'espère que titi0072 a eu ce courage, sinon à quoi ça sert que Ducros y se décarcasse !

par **sandrine_guillerme** » 02 Oct 2006, 15:03

Salut à tous,
en fait j'ai lu ce que QUIDAM à écrit , j'avous que finalement il mérite ce qu'on lui dis c'etais d'une membre qui disait que tu est patient et tu prends le temps de détailler la réponse , franchement bravo koi !!!

bon je crois que je suis tout à fais d'accord avec toi .. à part que j'ai besoin une petite piste pour démontrer ce que tu as dis

"le produit des deux rationnels positifs est un rationnel positif,

Merci
(ça fais longtemps que j'en ai pas fais ça ! )
:hum:

par **Quidam** » 02 Oct 2006, 15:37

sandrine_guillerme a écrit:bon je crois que je suis tout à fais d'accord avec toi .. à part que j'ai besoin une petite piste pour démontrer ce que tu as dis

"le produit des deux rationnels positifs est un rationnel positif,

Tu plaisantes, je suppose !

par **sandrine_guillerme** » 02 Oct 2006, 16:28

bah ouiiii et moi qui croyais que tu sentais le gout de l'ironie ????? :triste:

C'etait pour te dire que je suis arrivée jusqu'a la fin !

snif snif

par **titi0072** » 02 Oct 2006, 17:55

merci quidam, meme si c'est trop pour l'explication parce que j'ai lu des livres d'algèbre ce matin pour comprendre, c'est gentil comme même de ta part!

par **tize** » 02 Oct 2006, 18:15

Quidam a écrit:Pas grave ! Ce n'est pas à toi que c'était destiné. Je détecte une pointe d'ironie dans ton "grand bravo" ! Me trompai-je ?

J'espère que titi0072 a eu ce courage, sinon à quoi ça sert que Ducros y se décarcasse !

Non, il n'y avait pas d'ironie du tout...au contraire je trouve cela très bien que des membres du forum prennent le temps parfois d'expliquer certaine notion de manière précise.
Cordialement
José

par **Quidam** » 02 Oct 2006, 19:53

tize a écrit:Non, il n'y avait pas d'ironie du tout...au contraire je trouve cela très bien que des membres du forum prennent le temps parfois d'expliquer certaine notion de manière précise.
Cordialement
José

Merci beaucoup !

par **Quidam** » 02 Oct 2006, 19:57

sandrine_guillerme a écrit:bah ouiiii et moi qui croyais que tu sentais le gout de l'ironie ????? :triste:

C'etait pour te dire que je suis arrivée jusqu'a la fin !

snif snif

Navré de ne pas avoir saisi tout de suite ! Eh ! On ne se connaît que depuis quelques heures... :++:

par **sandrine_guillerme** » 02 Oct 2006, 21:37

Quidam a écrit:Eh ! On ne se connaît que depuis quelques heures... :++:

bienvenue au club :we:

Groupe

Groupe

merci quidam

Qui est en ligne