Groupe

[lucdar]

Bonjour,

ayant été absent pour des raisons de santé en cours et aux travaux pratiques, j'ai loupé une grande partie du cours sur les groupes et j'ai dû mal dans la résolution de certains exercices..
voici mon exercice: "Soit G un groupe à 6 éléments.
On admet que tout sous-groupe de G a 1, 2, 3 ou 6 éléments.
(on convient de noter e l'élément neutre de G)

a) Montrer que, pour tout x élément de G,
b) Si tel que alors G est un groupe commutatif.
c) Supposons G non commutatif. Montrer qu'il existe tel que
d) Montrer qu'il existe
e) G={e,a,a^2,b,ab,a^2b}

je ne sais pas du tout comment m'y prendre
sinon pour la question a, j'avais pensé à partir des sous groupes de G mais je n'ai pas l'impression que je suis sur la bonne voie..
merci beaucoup d'avance pour votre aide

[Elias]

Salut,

Q1] Prend toi un x dans G et interesse toi au sous groupe <x> engendré par G.
Quelles sont les possibilités pour l'ordre de ce sous groupe ?
Quel est le lien avec l'ordre de x ?

Q2] Montre que sous ces conditions, on a forcément
G = <c>

Q3] Déjà, tu sais qu'il n'existe aucun a tel que a^6=e d'apres ce qui précède.
Ensuite, si tu prends n'importe quel autre a qui n'est pas e, alors t'as soit a^2=e ou a^3=e
Essaie de montrer que si tous les a (autres que e) satisfont a^2=e, alors le groupe est forcément commutatif (un résultat classique).

Conclusion ?

Q4] Tu sais déjà que t'as un a d'ordre 3:

Prends le sous groupe engendré par a, c'est <a> = {e,a,a^2}
Essaie de montrer que dans tout ce qui reste qui n'est pas dans <a>, il y a forcément quelqu'un d'ordre 2 (sinon y'a pas assez de monde pour que ça soit cohérent)

Q5] Decoule de tout ce qui précède

[lucdar]

merci beaucoup pour votre réponse mais je ne sais pas ce qu'est l'ordre (j'ai fait des recherches sur internet, il s'agirait du cours de spé et je ne suis qu'en sup)
en tout cas, j'ai su faire la question 3, j'avais pensé à l'absurde comme vous le suggérez

pour la 1, si je comprends bien, je dois considérer les sous groupes de G de la forme {} de cardinal 1,2,3 ou 6, avec
Si ce sous groupe est de cardinal 2, il est évident que a^2=e mais je ne sais pas m'y prendre rigoureusement pour les 2 autres cas

[Elias]

L'ordre d'un élément x est le plus petit entier d (non nul) tel.que x^d = e.

Si un élément x est tel qu'il n'existe aucun d non nul vérifiant x^d=e,on dit que x est n'est pas d'ordre fini.

L'ordre d'un sous groupe est tout simplement son cardinal.

En fait, l'ordre d'un élément a est égal à l'ordre de son sous groupe engendré <a>.
Si tu admet cela un instant, on répond du coup facilement à la question 1, on est d'accord ?

Démontrons maintenant ce fait.

Déjà, si a n'est pas d'ordre fini, i.e. s'il n'existe aucun entier d non nul tel que a^d = e, alors on montre facilement que est infini.

En effet, avec de telles hypotheses, si on prend k et l entiers distincts, alorscar car a n'est pas d'ordre fini.


Ainsi, si <a> est fini, alors a est d'ordre fini.
Ainsi, on sait qu'il existe un plus petit entier d tel que a^d=e (d est l'ordre de a).

Ensuite, on montre que

L'inclusion droite - gauche est OK.
Pour l'autre, si tu prends un entier k et que tu effectues sa division euclidienne par d: avec , alors


D'où le résultat

[lucdar]

merci beaucoup pour cette démonstration!
pour la question b, il faut alors que je montre une double inclusion? Parce que même si j'ai compris ce qu'est l'ordre d'un élément et le sous groupe engendré, j'ai dû mal à m'en servir.

[Elias]

Si tu veux, on peut éviter de parler d'ordre, mais ce que je vais dire va ressembler aux justifications des messages précédents.
Tu peux essayer de montrer que si un tel c existe, alors forcément:
<c>={e,c,c^2,c^3,c^4,c^5}


Tous ces éléments sont distincts car si c ^k = c^l pour k et l dans {0,...,5} alors c^(k-l)=0 et comme k-l <6, ça conduit à k-l=0 donc k=l.

Donc <c> est un sous groupe de G contenant 6 éléments distincts. G contient lui même 6 éléments donc G=<c>.

Donc G est commutatif (car tout sous groupe engendré par un élément est commutatif, on est d'accord ?)

[lucdar]

merci beaucoup pour prendre du temps pour m'aider mais je ne saisis pas très bien ce que vous entendez par "tout ce qui reste qui n'est pas dans <a>" pour la question 4
je suis désolé de vous poser autant de questions mais j'ai vraiment du mal avec les groupes..

[Elias]

Déjà,comme G n'est pas commutatif, il n'existe aucun x tel que x^6=e (d'après la question b)).
Ensuite, si jamais il n'existe pas de b vérifiant b^2=e, c'est que pour tout x dans G, on a ou bien x=e ou bien x^3=e (d'après a)).
Donc G est constitué de e puis de 5 éléments d'ordre 3.
Si tu prends un élément particulier a dans G tel que a^3=e, tu peux regarder le sous groupe <a>={e,a,a^2}.
Maintenant, si tu prends élément b dans G qui n'est pas dans <a>. Et bien, b est d'ordre 3, i.e. vérifie b^3=e.
Tu peux regarder le sous groupe <b>={e,b,b^2} et tu es sûr que b^2 n'est pas à son tour dans <a>.
Si tel etait le cas,le sous groupe engendré par b^2 serait inclus dans <a> et serait même égal à <a> (car ils ont même cardinal).
Or, b est dans <b^2> car <b^2> ={ e, b^2, b^4=b^3 b = b}
Donc b serait dans <a>...

Enfin, tu prends le dernier c dans G qui n'est ni dans <a> ni dans <b> (G contient 6 éléments donc il manque bien quelqu'un)

Si tu regardes <c>={e,c,c^2}, à nouveau, tu peux montrer (avec les mêmes arguments que precedemment) que c^2 n'est ni dans <a>, ni dans <b>.
Cela est problématique car cela impliquerait que G possède au moins 7 éléments

D'ou la contradiction

[lucdar]

je ne sais pas comment vous remercier, c'est très gentil de votre part, merci énormément pour votre aide et patience!

[Elias]

Il n'y a pas de quoi !
Bon courage