Groupe

[wserdx]

Montre maintenant que tout élément du groupe est de la forme avec et entiers.
Quelles valeurs peuvent prendre et ? Combien d'éléments différents peut-on construire ainsi ?

ça te dit quelque-chose?

[zork]

bon on va dire que cette question est ok

[Anonyme]

bon on va dire que cette question est ok

Parce que j'ai pas tout compris à cet exercice, j''aimerais bien que tu expliques la réponse quand tu auras du temps à ton exo dans cette discussion
Merci

[zork]

tu fais la table de Cayley. En faisant le produit des éléments, tu vois que de nouveaux apparaissent, il faut donc les rajouter au groupe G

[Anonyme]

Bonjour
Je ne sais pas ce qu'est la table de Cayley

[zork]

c'est la table du groupe

[Anonyme]

OK , il faut donc faire une lister de tous les éléments différents qui appartiennent à G

As tu fait cette liste ?

[zork]

oui je l'ai fait

[Anonyme]

Si tu ne veux pas me les lister , peux tu au moins me donner le cardinal de G !

[zork]

les éléments sont:
e,x,y,y²,xy,xy²

[Anonyme]

Merci
J'ai encore une autre question (qui n'a rien à voir avec ton énoncé mais qui m'intrigue)

Peut on répondre sur l'ordre du groupe G sans remplir la table ?
(sachant que ce groupe G est engendré par 2 éléments distincts x d'ordre 2 et y d'ordre 3 )

[zork]

d'après le corollaire au théorème de lagrange
ord(x) divise|G| et ord(y) divise |G|

du coup ca peut donner une idée. Mais le mieux c'est de faire la table.

PS:x est d'ordre 2 et y d'ordre 3

[Anonyme]

@zork
Oups , merci d'avoir rectifié ma boulette

Le théorème de Lagrange dit que l'ordre de tout sous groupe divise l'ordre du groupe ( ou un truc comme cela)

donc d'après ce que je comprends cela veut dire que
2 divise |G|
3 divise |G|

Peut on en déduire que forcément |G|= 6
et si oui pourquoi ?

[Skullkid]

Le fait que 2 et 3 divisent |G| implique que 6 divise |G| (car 2 et 3 sont premiers entre eux), on peut rien déduire de plus en utilisant uniquement le fait que G contient un élément d'ordre 2 et un élément d'ordre 3. Par exemple, Z/12Z possède un élément d'ordre 2 (6) et un élément d'ordre 3 (4) sans pour autant être d'ordre 6.

C'est en utilisant les autres hypothèses de l'énoncé, à savoir que G est engendré par x et y et que x et y commutent, qu'on prouve que G est d'ordre 6.

[Anonyme]

@Skullkid

Merci pour tes explications
Même si j'ai compris que faire "la table" est la solution adéquate pour calculer l'ordre de G , mon autre question est : est ce que la démo que tu proposes est compliquée à faire ?

Si la réponse est non , laisse nous le temps d'y réfléchir.... avant d'écrire la solution
Thanks....

[Skullkid]

Sans particulièrement chercher à faire la table du groupe (même si au final ça n'est pas très différent), les indications pour parvenir à la démo ont toutes été données dans les posts précédents : on regarde tous les éléments distincts qu'on peut obtenir en multipliant des x et des y.

[Anonyme]

@Skullkid

J'ai trouvé ( sans aucune démonstration / explication ) , la propriété suivante :

si est d'ordre et est d'ordre dans un groupe G abélien , alors l'application :
Z/nZ X Z/mZ ---> G
(p+ Z/nZ , q+ Z/mZ) --->
est un morphisme de groupe dont l'image est le sous-groupe engendré par et
Ce sous-groupe est donc isomorphe à un quotient du groupe qui est d'ordre

Question n° 1 : Est ce que cette propriété est vraie ?

Question n° 2 : Qu'est ce un quotient du groupe



Quelques pistes de travail seraient les bienvenues sur ce sujet pour m'aider à le démontrer ( bien sûr , uniquement si c'est vraie ?)
Merci

[Skullkid]

Oui cette propriété est vraie. En condensé, elle dit que si x et y commutent alors l'ordre du groupe est un diviseur du produit des ordres de x et de y. Appliquée dans le cas particulier de l'exercice donné dans ce topic, elle dit que l'ordre de divise 6. Et puisqu'en l'occurrence on sait déjà que 6 divise l'ordre de , on peut conclure que est d'ordre 6.

Pour les quotients, il vaut mieux être un peu familier avec les relations d'équivalence : si on a un groupe G abélien et un sous-groupe H de G, on peut construire le groupe quotient G/H comme étant l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation ~ définie par "x~y si et seulement si x*y^(-1) est un élément de H". Par exemple pour G = (Z,+) l'ensemble des entiers relatifs et H = (2Z,+) l'ensemble des entiers relatifs pairs, la relation ~ est la congruence modulo 2 et le quotient est Z/2Z, le groupe à 2 éléments.

La démonstration de ta propriété fait aussi appel à une propriété générale : si f est un morphisme de groupes de G vers H alors Imf est isomorphe à G/Kerf. Bref, si tu n'es pas encore familier des relations d'équivalence et des quotients, ce n'est sans doute pas un bon exercice que de se lancer dans la démonstration de la propriété que tu donnes. En revanche tu peux tout à fait démontrer la première partie, à savoir que l'application qu'ils donnent est un morphisme de groupes.