Groupe

[Doraki]

Ben puisqu'il contient x et y, c'est qu'il doit aussi contenir tous les éléments comme x*y*y*x*y*x*x*y*x*y*y*y*x*y

[zork]

mais du coup, il y a une infinité d'éléments?

[Doraki]

C'est certainement une possibilité.
Je t'ai dit que (Z,+,0) était un exemple de groupe engendré par 2 éléments, et il est infini non ?

[Anonyme]

Soit (G , *) un groupe multiplicatif dont l'élément neutre est noté e
Notons x et y 2 éléments quelconque de G

1) Si alors 1/x (tel que x * 1/x = 1/x * x = e) appartient à G

2) Si x et , y appartiennent à G
alors
1/x et 1/y appartiennent à G
x² appartient à G
(1/x)² appartient à G
x^3 appartient à G
(1/x)3 appartient à G
xy appartient à G
xy² appartient à G
..etc...

[zork]

ca me parait bizarre que mon exo soit si compliqué

car du coup, je ne connait pas les autres éléments

[wserdx]

As-tu relu ma contribution ?

[zork]

oui et j'ai dit que l'ordre de G est 2 car G=

[wserdx]

Commence par montrer que l'ordre de y est nécessairement 3. Tu en déduiras que l'ordre du groupe ne peut pas être 2.

[Doraki]

Non l'ordre d'un groupe c'est le nombre de ses éléments.

"je ne connais pas ses autres éléments". Si, être un groupe engendré par x et y ça veut dire que ses élément c'est tous les machins comme "x*y*x*(1/x)*x*x*(1/y)*x*(1/y)*(1/y)*(1/x)*x*y" que tu peux fabriquer avec x et y.

[zork]

effectivement y est d'ordre 3 car y^3=e et x est d'ordre 2 car x²=e

mais et les autres éléments?

[Anonyme]

x²=e ainsi que xy=yx

x est inversible donc 1/x appartient à G

on a :
x (1/x) = e
et
x² = e

donc x (1/x)= x²
donc 1/x=x
donc x=e

[zork]

ce n'est surement pas x=e puisque dans l'énoncé on dit que x et y sont différents de e

[wserdx]

x est inversible donc 1/x appartient à G

on a :
x (1/x) = e
et
x² = e

donc x (1/x)= x²
donc 1/x=x
donc x=e

Oullà, quelle loi te permet de passer de l'avant dernière ligne à la dernière ? !!!

[Anonyme]

x est inversible dans G avec la loi *
et x * (1/x)= (1/x)*x = e <=> x=e

[wserdx]

effectivement y est d'ordre 3 car y^3=e et x est d'ordre 2 car x²=e

mais et les autres éléments?

Bon, alors quelles sont les valeurs possibles pour l'ordre du groupe ?

Que penses-tu de

[wserdx]

x est inversible dans G avec la loi *
et x * (1/x)= (1/x)*x = e x=e

Non désolé, un élément a parfaitement le droit d'être égal à son inverse sans pour autant être égal au neutre. Quelle loi invoques-tu?

[zork]

à ptit noir, ce que tu dis est faux car dans l'énoncé x et y sont différents de e

d'après lagrange, 3 divise |G| et 2 divise |G|

du coup je dirai que l'ordre de G est 6

[Judoboy]

x est inversible dans G avec la loi *
et x * (1/x)= (1/x)*x = e x=e

Ca serait embêtant vu que (1/x)*x ça fait toujours e.

[wserdx]

à ptit noir, ce que tu dis est faux car dans l'énoncé x et y sont différents de e

d'après lagrange, 3 divise |G| et 2 divise |G|

du coup je dirai que l'ordre de G est 6

Du coup, je repose ma question : que penses-tu du groupe
(aide : il s'agit du produit cartésien d'un groupe d'ordre 2 et d'un groupe d'ordre 3) Quelle est la loi de ce groupe ? Montre que tu peux trouver dans ce goupe deux éléments x et y qui satisfont les conditions de ton problème.

[Anonyme]

Non désolé, un élément a parfaitement le droit d'être égal à son inverse sans pour autant être égal au neutre. Quelle loi invoques-tu?

e est l'unique élément de G tel que
e * 1/e = 1/e * e = e