Groupe

[zork]

Bonjour,

Soit G le groupe engendré par les éléments distincts x et y différent de l'élément neutre e et qui vérifient x²=y^3=e ainsi que xy=yx
1) dresser la table de multiplication de G

G= et |G|=2

Mais lorsque je fais la table je n'ai pas une table de groupe (les éléments sont e,x,y), Pourquoi?

[Sylviel]

Parce que tu n'as pas mis tous les éléments... le groupe est engendré par x,y... mais il contient plus d'éléments que ça !

[zork]

pour moi les éléments de G sont:e,x et y

Qui sont les autres?

[Sylviel]

ben si y est différent de l'élément neutre et que y^3=e, alors a priori il te faut l'élément y². Donc soit
x=y², soit y² est un nouvel élément. Après ma théorie des groupes est bien rouillée, mais sur cet exercice j'aurais tendance à supposer que y² est différent, quitte à faire le cas où y²=x ensuite.

[Nightmare]

Hello,

si y²=x, y^4=e=y^3 donc y=e, à exclure.

:happy3:

[zork]

comment avez vu su qu'il y avait d'autres éléments?

[Sylviel]

Ben c'est toujours le cas... Où en tout cas c'est toujours ce qu'il faut supposer :
un groupe généré par certains éléments en contient a priori plus --> tout ceux que l'on peut construire par multiplication et inversion des éléments donnés.

[zork]

donc en tout j'ai combien d'éléments?

j'ai:e,x,y,x²,y²,y^3?

[wserdx]

D'après ton énoncé, ton groupe contient deux éléments d'ordres respectifs 2 et 3 (Vois-tu lesquels?)
Sachant que l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe, quel peut être l'ordre du groupe ?
Que penses-tu de ?

[zork]

l'ordre de G est 2

donc l'ordre de x et y est soit 1, soit 2

[wserdx]

Ah, désolé alors. L'ordre de G est 2 : ça fait partie de l'énoncé ou bien tu l'as déduit ?

[zork]

je l'ai déduit car on dit que G est engendré par x,y

[Nightmare]

On te dit que G est engendré par x et y, pas que G={x,y}.

Quelle est la définition d'un groupe engendré par des éléments donnés?

[zork]

G=

Mais combien G a d'éléments du coup?

[Nightmare]

Tu n'as toujours pas donné la définition d'un groupe engendré par 2 éléments!

[zork]

pour tout g dans G, g=ax+by avec a,b dans R

[Doraki]

Non là tu décris un R-espace vectoriel de dimension 2.
Or tous les groupes ne sont pas des R-espaces vectoriels. Par exemple (Z,+,0).
D'ailleurs (Z,+,0) est un exemple de groupe engendré par 2 éléments puisqu'il est engendré par 5 et 12 : tout élément de Z peut s'obtenir par combinaisons de 5 de 12 et de leurs inverses, par exemple 8 = 5+5+5+5-12.

[zork]

ici on ne connais pas la loi du groupe G

je sais que si je prend (B,+) un groupe par exemple
B=={ka, k dansZ} ou {a^k} si B est munit de x

mais ici il n'y a pas de loi pour G

[Doraki]

Quand tu écris ka ou a^k, ça ne veut pas dire que a est un nombre et que tu fais une multiplication ou une exponentiation.
Si tu as un groupe B, que tu choisis d'appeler sa loi "+", et si a est un élément de B, "4a" est un raccourci pour désigner "a+a+a+a", c'est-à-dire quatre a composés entre eux.
Si tu choisis d'appeler sa loi "*", on raccourcit "a*a*a*a" en "a^4", mais ça veut dire la même chose qu'avant.

Ici on te demande de décrire un groupe (G,*,e) (l'énoncé choisit de noter sa loi multiplicativement), engendré par deux éléments x et y de G, qui vérifient en outre x*x=y*y*y=e et x*y = y*x.
* c'est juste une opération associative de GxG dans G. Si tu savais ce que * était (par exemple si on ne sait pas comment tu t'étais mis en tête que * était la multiplication de matrices) ça voudrait dire que tu saurais aussi ce que G est (un ensemble de matrices).
Là on se fiche de ce que sont les éléments de G, tu dois seulement réfléchir sur ce que les hypothèses impliquent sur la taille de G et de la manière dont ses éléments se combinent entre eux.

[zork]

mais je ne comprend toujours pas comment on trouve tous les éléments du groupe?