Groupe symétrique

[Argentoratum]

Bonsoir, j'ai du mal à comprendre l'énoncé suivant :

Soit (G, ,e) un groupe et soit Aut(G, ,e) l'ensemble des bijections de h de G dans G tel que :

Aut(G, ,e) est appelé l'ensemble des automorphisme de (G, ,e).
Montrez que Aut(G, ,e) est un sous-groupe du groupe symétrique G.

J'ai quelques questions :
1. Le groupe symétrique en question est bien (S(X),id, )
2. Le groupe symétrique n'est-il pas déjà l'ensemble des bijections ici appelé Aut(G, ,e).
3. Pour prouvez que c'est un sous groupe, sur quel ensemble se base-t-on pour monter que
.

Merci de votre aide.

[Argentoratum]

Je pense que x et y sont des bijections. Et donc qu'il faut montrer
.
Ainsi y étant une bijection donc y' sa réciproque l'est aussi, donc y'
Ensuite h étant une bijection donc h(x) et h(y') aussi.
Puis une composition de 2 bijection est bijective donc
h(x) // étant la composition
Est-ce bien cela ?

[ThSQ]

2. Le groupe symétrique n'est-il pas déjà l'ensemble des bijections ici appelé Aut(G, ,e).

Non toutes les permutations ne sont pas des automorphismes, loin s'en faut !

[Argentoratum]

En fait le groupe symétrique n'est pas bijectif sur lui même mais d'un ensemble sur lui même que j'avais appelé X tout à l'heure. Mise à par cela que pense tu de mon résonnement?

[ThSQ]

En fait le groupe symétrique n'est pas bijectif sur lui même mais d'un ensemble sur lui même que j'avais appelé X tout à l'heure. Mise à par cela que pense tu de mon résonnement?

J'ai pas compris ton raisonnement (et encore moins ton résonnement ).

C'est beaucoup plus simple, il faut montrer :
1- si f est un automorphisme f^{-1} aussi
2- si f et g sont des autom. f°g aussi.

Le 2- (le+simple ), loi notée '*' :

f°g(x*y) = f(g(x*y)) = f(g(x)*g(y))= f(g(x))*f(g(y)) = f°g(x)*f°g(y) : f°g est un autom.

[Argentoratum]

1- si f est un automorphisme f^{-1} aussi
2- si f et g sont des autom. f°g aussi.

Je ne pense que ce soit à démontrer car 1- et 2- sont vraies par définiton.
Mais pour revenir à l'énoncé précedent, c'est encore flou.

[ThSQ]

Je ne pense que ce soit à démontrer car 1- et 2- sont vraies par définiton.

Comme tu veux .....

[abcd22]

Je ne pense que ce soit à démontrer car 1- et 2- sont vraies par définiton.

Relis bien l'énoncé et la question...

Mais pour revenir à l'énoncé précedent, c'est encore flou.

En effet puisque tu mélanges les éléments de G et ceux de Aut(G)...

PS: Le groupe symétrique dont on parle ici c'est S(G), ensemble des bijections de G dans lui-même, il n'y a pas de X dans l'énoncé.

[alben]

Je ne pense que ce soit à démontrer car 1- et 2- sont vraies par définiton.

Je pense que c'est là ton erreur. Un élément du groupe symétrique est une bijection mais pas forcément un morphisme (ie f(xy)=f(x)f(y))
Donc Il reste à montrer que c'est stable pour que ce soit un sous groupe, c'est à dire le 1 et le 2 de ThSQ.
Il n'y a rien d'autre à faire mais il faut le faire :we:
edit : grillé