Groupe symétrique

[MeollArhBard]

Bonsoir à tous,

Je voudrais démontrer rigoureusement ce théorème: tout élément de Sn est égal à un produit de transpositions élémentaires (i, i+1) avec i appartenant à {1, ..., n-1}.

Je comprends ce théorème mais je n'arrive à le démontrer de manière rigoureuse. Je me suis aidé d'un exemple. Je suis parti de 5 cartes: 8, 9, 10, Valet, Dame. Je voulais montrer qu'on pouvait faire la transposition (8, Valet) en procédant par transpositions élémentaires (i, i+1). Je parviens à faire cela.
Mais je n'arrive pas à généraliser cela pour un nombre d'éléments m. Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Ça revient à dire qu'on peut réaliser n'importe quelle transposition par une suite de "saute-moutons" consistant à échanger deux voisins.
En observant comment tu as procédé, tu devrais voir comme écrire la transposition (i,i+k) comme une composée de 2k-1 saute-moutons.

[MeollArhBard]

Bonjour,

je comprends bien ce que signifie ce théorème. J'arrive à le comprendre sur des exemples mais je n'arrive pas à construire une preuve rigoureuse à partir d'un cas général. Imaginons: soit A un élément de Sn. Je voudrais montrer que A peut s'écrire comme produits de transpositions élémentaires. Je me méprends sur les indices...

Merci d'avance pour votre aide.

[GaBuZoMeu]

Tu as fait une manip



qui réalise la transposition (i,i+3). En suivant les numéros des places que tu échanges, tu devrais voir la décomposition de (i,i+3) an produit de 5 transpositions de voisins (transpositions élémentaires).
Une fois ceci fait, tu pourras le faire pour (i,i+j).

[MeollArhBard]

Nous sommes d'accord.
J'obtiens l'écriture suivante: (10, V)(9, 10)(8, 9) cela me permet d'avoir l'ordre suivant: 9 10 V 8.
Maintenant, je veux déplacer le valet tout à gauche. J'ai donc (V, 9)(10, V).
Avec ces deux produits de transpositions élémentaires, j'ai bien échangé le 8 avec le Valet.

Mais ce que je voudrais, c'est trouver un résultat générique. J'ai donc essayé d'écrire ce raisonnement avec des indices. Ainsi, on aurait: (i4, i3)(i3, i2)(i1, i2) d'une part et (i2, i1)(i3, i2) d'autre part. J'ai essayé de "compacter" ça.

Pour le premier temps, j'ai: (i4, i3)(i3, i2)(i1, i2) = somme allant de j = 1 à 3 de (ij+1, ij).
Pour le deuxième temps, j'ai (i2, i1)(i3, i2) = somme allant de j = 3 à 2 de (ij, ij-1).
Bon, ça ne marche clairement pas mais j'aimerais un coup de main sur cette écriture justement. Je n'arrive pas à mettre tout cela en forme sans me tromper sur les indices. Mon objectif, c'est d'écrire n'importe quel élément de Sn comme un produit de transpositions élémentaires (i, i+1).

Merci d'avance.

[GaBuZoMeu]

Pourquoi parles-tu de somme ? il n'y a aucune somme là-dedans !
Tu as les quatre positions consécutives i, i+1, i+2, i+3. Tu veux échanger les position i et i+3.
Tu commences par échanger les positions i et i+1. Puis tu échanges les positions i+1 et i+2. etc.
Ce n'est pas compliqué d'écrire ça comme produit de transpositions élémentaires. Prends les choses par le bon bout.

[MeollArhBard]

Oui, je suis allé trop vite.
Oui, dans ce sens là, pas de problème. Mais comment fais-tu pour descendre le valet à la place du 8 ? Comment écris-tu les transpositions dégressives ? C'est justement l'écriture de ce produit (partie ascendante puis partie descendante) qui me pose problème au niveau des indices.

[GaBuZoMeu]

Je ne vois pas le problème. Par exemple la transposition (i, i+1), c''est la même chose que la transposition (i+1,i). As-tu bien réalisé ça ?

[MeollArhBard]

Oui, j'ai bien réalisé cela.

Je vais prendre un exemple. Soit A appartenant à Sn. On peut écrire A comme le produit allant de j = 1 à m de (ij+1; ij) par le produit allant de j = m-1 à 1 de (ij, ij-1), non ? Je me perds dans ces indices...

[GaBuZoMeu]

Pourquoi ce double indice ij ??? Je ne comprends pas ce que tu écris.
Je ne comprends pas non plus pourquoi tu n'utilises pas mon indication
Pour enfoncer les portes ouvertes :
(i, i+1)
(i, i+1) (i+1, i+2)
(i, i+1) (i+1, i+2) (i+2, i+3)
(i, i+1) (i+1, i+2) (i+2, i+3) (i+1, i+2)
(i, i+1) (i+1, i+2) (i+2, i+3) (i+1, i+2) (i, i+1)

[MeollArhBard]

Non mais ça d'accord ! C'est l'écriture sous forme de produit avec indice qui me pose problème. Tu écris: (i, i+1) (i+1, i+2) (i+2, i+3) (i+1, i+2) (i, i+1). On voit bien qu'il y a une "régression" qui a lieu au bout d'un moment. Je l'ai indiquée en gras. C'est ça que je n'arrive pas à écrire de manière générale.

Je voudrais écrire ce produit là de manière générale, pas seulement pour un ensemble de 4 éléments.

[GaBuZoMeu]

Bon, je pensais qu'après avoir écrit pour toi une décomposition de (i,i+3) en produit de 5 transpositions élémentaires, tu pourrais sans peine écrire une décomposition d'une transposition (i,i+j) quelconque en produit de 2j-1 transpositions élémentaires. Eh bien non, c'est raté.
La nuit te portera peut-être conseil ?