Groupe symetrique

[jankyjack]

Bien le bonsoir et Bon début d'année,

j'ai un groupe symetrique S et une fonction f (f etant un automorphisme)de S vers S et on suppose ici que S contient 3 elements. et je voudrais demontrer que la composée 6 fois de f est identité de S c'est à dire f°f°f°f°f°f= Ids.

Merci de votre aide

[Ben314]

Salut,
Ben y'a pas la moitié du début de la moindre raison que ce soit vrai...
Par exemple, si f c'est une rotation d'1/4 de tour qu'on regarde comme une permutation des 4 sommets d'un carré, ben si on fait f 6 fois, on a fait 1/2 tour...

[jankyjack]

désolé j'ai oubliéde dire f est un automorphisme donc il doit etre bijectif

[Ben314]

J'avais mal compris l'énoncé : je pensait que f c'était un élément d'un groupe symétrique et pas un morphisme de S dans S.
M'enfin bon, ça change rien au fait que c'est toujours aussi faux et même trivialement faux.
Dans les groupes de permutations les automorphismes les plus simples c'est ce qu'on appelle les automorphismes intérieurs, c'est à dire ceux de la forme pour un certain et l'application est un morphisme de S dans l'ensemble des automorphismes de S.
De plus ce morphisme est injectif dés que S a au moins trois éléments donc à partir de 4 éléments pour S, il va y avoir des élément dans S donc aussi dans Aut(S) qui sont d'ordre ne divisant pas 6 et ton truc va être faux.

Exemple : dans vu comme le groupe des permutations de {1,2,3,4} l'application est un automorphisme de qui est d'ordre 4 donc tel que

[jankyjack]

je viens d'essayer pour S qui ne contient que 3 elements et ça marche. et j'ei ensuite remarqué qu'on avait effectivement précisé que S ne possede que 3 élements

[Nicolas.L]

Salut,
Si l'on montre que tous les automorphismes de S3 sont intérieurs, c'est gagné
On peut commencer par montrer que si f est un automorphisme de S3, l'image par f d'une transposition est une transposition

[Ben314]

je viens d'essayer pour S qui ne contient que 3 elements et ça marche. et j'ei ensuite remarqué qu'on avait effectivement précisé que S ne possede que 3 élements

Et ça te fait même pas un tout petit peu "tilt" qu'une hypothèse du type "S n'a que 3 éléments" que tu ne précise pas dans ton énoncé, ça risque légèrement de manquer à ceux qui vont lire ton post ?

Sinon, effectivement, on montre assez simplement que, pour tout entier , tout les automorphismes du groupe sont intérieurs (et j'ai jamais bien compris s'il y avait une raison géométrique ou autre à l'existence de ce fameux automorphisme non intérieur sur )

[jankyjack]

j'ai toujours pas compris comment montrer que c'est un automorphisme intérieur

[Ben314]

Par quoi (de simple) est engendré (voire plus généralement ) ?
Si f est un automorphisme de G est un élément d'ordre m de G, que peut on dire de l'ordre de f(x) ?
Dans , c'est quoi les éléments d'ordre 2 (*) ?

(*) C'est là qu'il y a un cas "bizarre" pour n=6...

[jankyjack]

S3 est engendré par permutation des elements de 1 à 3. et f(x) est du meme odre que x.

mais jusque là je ne vois pas où je dois arriver

[Ben314]

Pour engendrer S3 il suffit de prendre les deux transpositions a=(1 2) et b=(2 3).
Si f est un automorphisme de S3 alors a'=f(a) et b'=f(b) sont, comme a et b, d'ordre 2 or les seuls éléments de S3 d'ordre 2 sont les transpositions donc a' et b' sont des transpositions et, comme elles sont distinctes, elles sont de la forme a'=(x y) et b'=(y z) où {x,y,z}={1,2,3}
Enfin si on considère la permutation p définie par 1->x ; 2->y ; 3->z alors a'=pap^-1 et b'=pbp^-1 ce qui, vu que a et b engendre S3, est suffisant pour prouver que f est l'automorphisme intérieur x->pxp^-1.

[jankyjack]

Merci. ce n'est pas encore bien clair mais je vais relire plusieurs fois et comprendre

Merci

[jankyjack]

je viens de comprendre ta demonstration Ben314 et merci encore. Mais ce que je ne comprends pas maintenant c'est pour quoi si f est un automorphisme interieur alors f°f°f°f°f°f sera identité de S3.

je ne comprends pas encore bien cette relation.

j'ai aussi un peu de mal à comprendre la notation x ---> axa^-1

[Ben314]

. . .j'ai aussi un peu de mal à comprendre la notation x ---> axa^-1

Vu que c'est précédé du terme "...est l'automorphisme...", c'est que ça désigne un automorphisme de S3, donc x c'est une permutation de S3 (et p aussi) et pxp^-1, c'est la composé (dans cet ordre) de p, de x et de la bijection réciproque de p (i.e. c'st le produit pour la loi de groupe sur S3).
Donc pxp^-1, c'est un élément de S3 ce qui signifie que x->pxp^-1 c'est bien une application de S3 dans S3 et on a aucune peine à voir que c'est bien un morphisme de groupe et qu'il est bijectif (de réciproque y->p^-1yp bien sûr).
Enfin, l'application de S3 dans Aut(S3) qui à p associe l'automorphisme x->pxp^-1 est clairement un morphisme de groupe de noyau le centre de S3. Et comme ce centre est {1}, c'est que ce morphisme est injectif.
Associé à la preuve du post précédent qui montre que le morphisme en question est aussi surjectif, ça prouve que Aut(S3) est isomorphe (canoniquement) à S3.

[jankyjack]

je ne vois pas le rapport entre le fait que la composée 6 fois d'automorphisme interieur est identité.

y'aurait- il un theoreme qui dit celà

[Ben314]

C'est quoi le cardinal de S3 ?
donc ?

Et en fait, de façon évidente, pour tout automorphisme f, on a soit fof=Id, soit fofof=Id.

[jankyjack]

non 6

[jankyjack]

le factoriel de 3

[jankyjack]

ne serait pas plutot f°f^-1 = id?

[jankyjack]

Et en fait, de façon évidente, pour tout automorphisme f, on a soit fof=Id, soit fofof=Id.

je pense que c'est fof^-1= id. mais dans le cas ce que tu as ecrit est vrai. pour quoi ce "soit"?