Groupe symétrique et orbite

[chombier]

Bonjour,
J'essaie désespérément de montrer cette propriété :
Soit , et

On note l'orbite de x et le cardinal de cette orbite.

Alors

A priori il suffit de montrer que le cardinal de est égal à p, autrement dit que l'application , est injective.

Soit donc . Il faut montrer que
Par l'absurde, si alors
. En posant ,


Mon instinct me pousse à faire une division euclidienne pour montrer que tout O_x est inclus dans , ce qui montre que le cardinal de O_x est inférieur ou égal à j-i-1, et j'aurais ma contradiction.

Mais ça me donne un peu l'impression d'utiliser un marteau piqueur pour résoudre une question très simple, et je ne suis même pas sur que mon raisonnement soit correct.

J'ai évidemment cherché si la démonstration n'était pas dans le Ramis, le Marco ou Arnaudiès, introuvable...

Merci d'avance de votre aide !!

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Je pense qu'il vaut mieux prendre les choses par le bon bout :

Soit le plus petit entier tel que . On montre que si , alors : s'il y avait égalité, alors on aurait or .

[chombier]

Il faut prouver l'existence d'un tel p, je n'ai pas trop d'idée pour montrer ça.

Ensuite j'ai bien compris, et on a donc

Il reste à prouver que

Etant donné que , il suffit de prouver que . Ce qui ne m'apparait pas évident non plus.

[GaBuZoMeu]

Il faut prouver l'existence d'un tel p, je n'ai pas trop d'idée pour montrer ça.

La permutation est d'ordre fini comme élément d'un groupe fini.

Ensuite j'ai bien compris, et on a donc

Il reste à prouver que

C'est clair puisque : pour tout entier , où est le reste de la division de par .

Etant donné que , il suffit de prouver que . Ce qui ne m'apparait pas évident non plus.

Évident avec ce que j'ai écrit.

[chombier]

Donc il fallait bien faire une division euclidienne, je ne sais pas comment j'espérais m'en passer.
Il faut aussi une petite récurence pour montrer que si alors .

Pour la première question, le théorème de Lagrange montre en effet que donc mais je préfère la méthode des tiroirs (j'ai trouvé cette méthode entre temps sur maths-france)

sont n+1 élément de l'ensemble [[1 ; n]] donc ils ne peuvent être tous deux à deux distincts, donc il existe tel que .

Mon erreur de méthode était là : . En posant inutilement , .

On peut faire bien mieux : si alors et donc que , et donc l-k conviens.

Merci pour ton aide