[MPSI] Groupe et produit

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Euler07
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[MPSI] Groupe et produit

par Euler07 » 19 Mar 2012, 10:06

Bonjour

Soit (G,.) un groupe fini et A et B deux parties de G telles que Card(A) + Card(B) > Card(G).
Montrer que G = A.B (Avec A.B = {a.b, (a,b) de A X B})

La correction de cette exo est comprise sauf une ligne de la résolution :

(Il on pris l'application P(A) = a-1 . g)

Card(P(A) n B) = Card(A) + Card(B) - Card(P(a) u B) >= Card(A) + Card(B) - Card(G) > 0 (comment passe t on de l'inégalité de droite à celle de gauche ?
Une autre question est ce que (G,.) est un groupe avec G = {1,2,3,5,7,1/2,1/3,1/5,1/7} ?

:livre:



Skullkid
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par Skullkid » 19 Mar 2012, 11:05

Bonjour, je comprends rien. P c'est quoi ? a c'est quoi ? g c'est quoi ?

Euler07
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par Euler07 » 19 Mar 2012, 11:08

Skullkid a écrit:Bonjour, je comprends rien. P c'est quoi ? a c'est quoi ? g c'est quoi ?


Oui j'ai oublié de préciser
P(A) c'est l'application de A dans G tel que P(A) = a-1.g et g c'est un élément de G. (Le but est de montrer qu'il existe a,b de A X B telles que g = a.b

:livre:

Skullkid
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par Skullkid » 19 Mar 2012, 11:18

Euler07 a écrit:Oui j'ai oublié de préciser
P(A) c'est l'application de A dans G tel que P(A) = a-1.g et g c'est un élément de G. (Le but est de montrer qu'il existe a,b de A X B telles que g = a.b

:livre:


Ça n'a toujours aucun sens. Maintenant je comprends ce que tu veux dire mais je veux te forcer à l'écrire correctement, là tu dis que P(A) est une application de A dans G égale au produit de deux éléments de G.

Euler07
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par Euler07 » 19 Mar 2012, 11:20

Skullkid a écrit:Ça n'a toujours aucun sens. Maintenant je comprends ce que tu veux dire mais je veux te forcer à l'écrire correctement, là tu dis que P(A) est une application de A dans G égale au produit de deux éléments de G.


Non, c'est définie pour tout a de A par P(A) = a-1.g (g élément de G)

:livre:

Skullkid
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par Skullkid » 19 Mar 2012, 11:24

Euler07 a écrit:Non, c'est définie pour tout a de A par P(A) = a-1.g (g élément de G)

:livre:


Ça veut toujours rien dire. A c'est pas un élément de G, c'est une partie de G. Bon bref, g est un élément fixé de G et P (et non pas P(A)) est l'application de A dans G qui à a (et non pas à A) associe , c'est ça ?

Donc pour montrer que g appartient à AB, il suffit de montrer que P(A) inter B est non vide, c'est-à-dire que son cardinal est strictement positif. Ensuite ils utilisent la formule du crible, le fait que A et P(A) ont même cardinal, et le fait que le cardinal de P(A) U B est inférieur à celui de G.

Euler07
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par Euler07 » 19 Mar 2012, 11:31

Oui.

Oui justement ma question c'était surtout pourquoi le cardinal de P(A) u B est inférieur à celui de G ?

:livre:

Skullkid
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par Skullkid » 19 Mar 2012, 11:38

Parce que P(A) U B est une partie de G.

Euler07
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par Euler07 » 19 Mar 2012, 11:39

Skullkid a écrit:Parce que P(A) U B est une partie de G.


Ah ba oui :ptdr:

Et pour ma deuxième question ? Parce que en fait je voulais voir avec un exemple si cela marchait

:livre:

Skullkid
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par Skullkid » 19 Mar 2012, 11:41

Ça dépend de ta définition de ta loi. Pour la multiplication usuelle ton G n'est pas stable donc ça risque pas d'être un groupe.

Euler07
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par Euler07 » 19 Mar 2012, 11:43

Skullkid a écrit:Ça dépend de ta définition de ta loi. Pour la multiplication usuelle ton G n'est pas stable donc ça risque pas d'être un groupe.


En effet... Merci pour tes réponses tout est compris

:livre:

 

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