[MPSI] Groupe et produit
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Euler07
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par Euler07 » 19 Mar 2012, 10:06
Bonjour
Soit (G,.) un groupe fini et A et B deux parties de G telles que Card(A) + Card(B) > Card(G).
Montrer que G = A.B (Avec A.B = {a.b, (a,b) de A X B})
La correction de cette exo est comprise sauf une ligne de la résolution :
(Il on pris l'application P(A) = a-1 . g)
Card(P(A) n B) = Card(A) + Card(B) - Card(P(a) u B) >= Card(A) + Card(B) - Card(G) > 0 (comment passe t on de l'inégalité de droite à celle de gauche ?
Une autre question est ce que (G,.) est un groupe avec G = {1,2,3,5,7,1/2,1/3,1/5,1/7} ?
:livre:
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Skullkid
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par Skullkid » 19 Mar 2012, 11:05
Bonjour, je comprends rien. P c'est quoi ? a c'est quoi ? g c'est quoi ?
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Euler07
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par Euler07 » 19 Mar 2012, 11:08
Skullkid a écrit:Bonjour, je comprends rien. P c'est quoi ? a c'est quoi ? g c'est quoi ?
Oui j'ai oublié de préciser
P(A) c'est l'application de A dans G tel que P(A) = a-1.g et g c'est un élément de G. (Le but est de montrer qu'il existe a,b de A X B telles que g = a.b
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Skullkid
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par Skullkid » 19 Mar 2012, 11:18
Euler07 a écrit:Oui j'ai oublié de préciser
P(A) c'est l'application de A dans G tel que P(A) = a-1.g et g c'est un élément de G. (Le but est de montrer qu'il existe a,b de A X B telles que g = a.b
:livre:
Ça n'a toujours aucun sens. Maintenant je comprends ce que tu veux dire mais je veux te forcer à l'écrire correctement, là tu dis que P(A) est une application de A dans G égale au produit de deux éléments de G.
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Euler07
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par Euler07 » 19 Mar 2012, 11:20
Skullkid a écrit:Ça n'a toujours aucun sens. Maintenant je comprends ce que tu veux dire mais je veux te forcer à l'écrire correctement, là tu dis que P(A) est une application de A dans G égale au produit de deux éléments de G.
Non, c'est définie pour tout a de A par P(A) = a-1.g (g élément de G)
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Skullkid
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par Skullkid » 19 Mar 2012, 11:24
Euler07 a écrit:Non, c'est définie pour tout a de A par P(A) = a-1.g (g élément de G)
:livre:
Ça veut toujours rien dire. A c'est pas un élément de G, c'est une partie de G. Bon bref, g est un élément fixé de G et P (et non pas P(A)) est l'application de A dans G qui à a (et non pas à A) associe
, c'est ça ?
Donc pour montrer que g appartient à AB, il suffit de montrer que P(A) inter B est non vide, c'est-à-dire que son cardinal est strictement positif. Ensuite ils utilisent la formule du crible, le fait que A et P(A) ont même cardinal, et le fait que le cardinal de P(A) U B est inférieur à celui de G.
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Euler07
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par Euler07 » 19 Mar 2012, 11:31
Oui.
Oui justement ma question c'était surtout pourquoi le cardinal de P(A) u B est inférieur à celui de G ?
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Skullkid
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par Skullkid » 19 Mar 2012, 11:38
Parce que P(A) U B est une partie de G.
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Euler07
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par Euler07 » 19 Mar 2012, 11:39
Skullkid a écrit:Parce que P(A) U B est une partie de G.
Ah ba oui :ptdr:
Et pour ma deuxième question ? Parce que en fait je voulais voir avec un exemple si cela marchait
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Skullkid
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par Skullkid » 19 Mar 2012, 11:41
Ça dépend de ta définition de ta loi. Pour la multiplication usuelle ton G n'est pas stable donc ça risque pas d'être un groupe.
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Euler07
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par Euler07 » 19 Mar 2012, 11:43
Skullkid a écrit:Ça dépend de ta définition de ta loi. Pour la multiplication usuelle ton G n'est pas stable donc ça risque pas d'être un groupe.
En effet... Merci pour tes réponses tout est compris
:livre:
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