Groupe d'ordre pair

par **Anonyme** » 24 Déc 2005, 00:28

bonjour
je veux résoudre cet exercice ,et merci d'avance
Soit G un groupe fini de cardinal pair. Montrer quil existe un element
dordre 2.
(Montrer que lensemble des x tq x au carrée differentde e est de cardinal pair)

par **quinto** » 24 Déc 2005, 01:24

sup2 a écrit:bonjour
je veux résoudre cet exercice ,et merci d'avance
Soit G un groupe fini de cardinal pair. Montrer quil existe un element
dordre 2.
(Montrer que lensemble des x tq x au carrée differentde e est de cardinal pair)

Bonjour, qu'as tu cherché?
As tu résolu la question donnée en indice?

par **Anonyme** » 24 Déc 2005, 09:28

j'ai cherché mais j' ai rien trouver (ni l'indice ni l'exo)
et merci

par **yos** » 24 Déc 2005, 12:06

Je note 1 l'élément neutre et 1/x l'inverse de x.

Il faut partitionner G en classes de 1 ou deux éléments {x, 1/x} (singleton lorsque x=1/x). Il y a au moins un singleton puisque 1/1=1, et donc il y en a au moins un autre à cause du cardinal pair de G. On est même sûr qu'il y a un nombre pair (non nul) de singletons.

par **Anonyme** » 24 Déc 2005, 20:04

merci d'abord
j 'ai pas bien compris la solution et surtout le fait qu'il y a un nombre pair de singleton

par **yos** » 25 Déc 2005, 00:02

Je recommence : Tu considère la relation d'équivalence R définie par :
xRy ssi (y=x ou y=x^(-1))
Les classes d'équivalences sont des singletons ({x} lorsque x²=e), ou des paires ({x,x^(-1)} lorsque x² différent de e).
Ces classes forment une partition de G.
Suppose qu'il y a p singletons et q paires.
G est de cardinal 2n.

On a donc p+2q=2n, donc p=... donc p est pair.

Mais p n'est pas nul car il y a au moins le singleton {e}. Donc p >ou= 2.

Donc il y a au moins un autre singleton {x} (avec x différent de e) , c'est-à-dire que x est d'ordre 2.

par **Anonyme** » 25 Déc 2005, 12:43

j'ai bien compris
merci infiniment YOS

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