Groupe ordonné complet archimédien

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Avatar de l’utilisateur
chombier
Membre Irrationnel
Messages: 1302
Enregistré le: 19 Juil 2012, 20:35

groupe ordonné complet archimédien

par chombier » 23 Jan 2022, 12:50

Bonjour,

L'approche d'Arnaudies sur la construction des nombres réels, assez étonnante, me donne à penser que le résultat suivant est vrai :

Tout groupe abélien totalement ordonné non discret, non nul et complet est isomorphe à (R, +)

Voici comment je m'en suis convaincu : Soit (G, +) un tel groupe et soit a un élément strictement positif de G.
L'idée est de construire un isomorphime de groupe f de R dans G tel que f(1)=a

D'une part, G est divisible (si a est dans et n dans Z, il existe b dans G tel que n·b=a, c'est montré page 14) donc on peut construire un epimophisme de groupe de (Q, +) dans (G, +) définit par : f(p/q) = (1/q)·p·a, donc G contiens une copie de (Q, +), on peut noter cette copie est Q·a.

Si x est réel, il existe une suite (u_n) à valeur dans Q convergente de limite x. La suite (f(u_n)) est une suite de Cauchy donc elle converge dans G vers l. On pose alors f(x)=l. Ce prolongement fait de f : R -> G un epimorphisme de groupe, donc G contient une copie de (R, +).

Soit l un élément de G. Q·a est dense dans G (c'est montré page 15) donc il existe une suite croissante (u_n·a) à valeur dans Q·a convergente de limite l. La suite (u_n) est de Cauchy donc elle converge vers un réel x, x est un antécédent de l. Ce qui montre que f est surjective, c'est donc un isomorphisme.

Bilan : f : (R,+) -> (G,+) est un isomorphisme de groupe. C'est même l'unique isomorphisme vérifiant f(a)=1.

Qu'en pensez-vous ?



Avatar de l’utilisateur
chombier
Membre Irrationnel
Messages: 1302
Enregistré le: 19 Juil 2012, 20:35

Re: groupe ordonné complet archimédien

par chombier » 26 Jan 2022, 14:11

Je m'auto-réponds, a priori ce que j'ai écrit est exact, et j'avais même la réponse sous les yeux depuis quelques mois :

Image

Si (G, +, <=) est Archimédien (c'est à dire que G est un groupe totalement ordonné non discret, non nul, archimédien est complet).

Etant donné que (R, +, <=) est lui aussi Archimédien ((R, +, <=) est un groupe totalement ordonné non discret, non nul, archimédien est complet).

Si a>0, il existe un unique homomorphisme de groupe croissant phi : G -> R tel que f(a)=1, et cet homomorphisme est un isomorphisme.

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 18 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite