Bonjour,
L'approche d'Arnaudies sur la construction des nombres réels, assez étonnante, me donne à penser que le résultat suivant est vrai :
Tout groupe abélien totalement ordonné non discret, non nul et complet est isomorphe à (R, +)
Voici comment je m'en suis convaincu : Soit (G, +) un tel groupe et soit a un élément strictement positif de G.
L'idée est de construire un isomorphime de groupe f de R dans G tel que f(1)=a
D'une part, G est divisible (si a est dans et n dans Z, il existe b dans G tel que n·b=a, c'est montré page 14) donc on peut construire un epimophisme de groupe de (Q, +) dans (G, +) définit par : f(p/q) = (1/q)·p·a, donc G contiens une copie de (Q, +), on peut noter cette copie est Q·a.
Si x est réel, il existe une suite (u_n) à valeur dans Q convergente de limite x. La suite (f(u_n)) est une suite de Cauchy donc elle converge dans G vers l. On pose alors f(x)=l. Ce prolongement fait de f : R -> G un epimorphisme de groupe, donc G contient une copie de (R, +).
Soit l un élément de G. Q·a est dense dans G (c'est montré page 15) donc il existe une suite croissante (u_n·a) à valeur dans Q·a convergente de limite l. La suite (u_n) est de Cauchy donc elle converge vers un réel x, x est un antécédent de l. Ce qui montre que f est surjective, c'est donc un isomorphisme.
Bilan : f : (R,+) -> (G,+) est un isomorphisme de groupe. C'est même l'unique isomorphisme vérifiant f(a)=1.
Qu'en pensez-vous ?